📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 길이가 27cm인 끈을 사용하여 두 정사각형을 만들 때, 두 정사각형의 넓이의 비가 1:3일 때 작은 정사각형의 한 변의 길이를 구하고, 그 길이를 \(a\sqrt{3} + b\) 형태로 표현하여 \(a+b\)의 값을 구하는 문제입니다. 넓이의 비를 이용하여 한 변의 길이의 비를 구하고, 끈의 길이를 이용하여 방정식을 세워 문제를 해결합니다. 닮음, 비례식, 무리수 계산이 핵심입니다.
- 넓이의 비를 이용한 변의 길이의 비 계산: 두 정사각형의 넓이의 비가 1:3이므로, 한 변의 길이의 비는 \(1:\sqrt{3}\)임을 이용합니다.
- 방정식 설정: 작은 정사각형의 한 변의 길이를 \(x\)로 놓고, 끈의 길이를 이용하여 방정식을 세웁니다.
- 방정식 풀이: 방정식을 풀어서 \(x\)의 값을 구하고, \(a\sqrt{3} + b\) 형태로 나타냅니다.
- \(a+b\) 계산: \(a\)와 \(b\)의 값을 구하여 \(a+b\)를 계산합니다.
핵심 개념:
닮음 도형의 넓이비와 변의 길이의 비의 관계. (넓이 비 = (길이 비)^2 )
피타고라스 정리: 직각삼각형에서 빗변의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합과 같다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 변의 길이의 비 계산
두 정사각형의 넓이의 비가 1:3이므로, 한 변의 길이의 비는 \(1:\sqrt{3}\) 입니다.
Step 2: 방정식 설정
작은 정사각형의 한 변의 길이를 \(x\)cm라고 하면, 큰 정사각형의 한 변의 길이는 \(\sqrt{3}x\)cm입니다.
두 정사각형의 둘레의 길이의 합이 27cm이므로, 다음 방정식을 얻습니다.
$$ 4x + 4\sqrt{3}x = 27 $$
Step 3: 방정식 풀이 및 변의 길이 계산
방정식을 풉니다.
$$ 4x(1+\sqrt{3}) = 27 $$
$$ x = \frac{27}{4(1+\sqrt{3})} $$
분모를 유리화합니다.
$$ x = \frac{27(1-\sqrt{3})}{4(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{27(1-\sqrt{3})}{4(1-3)} = \frac{27(1-\sqrt{3})}{-8} $$
$$ x = -\frac{27}{8} + \frac{27}{8}\sqrt{3} $$
작은 정사각형의 한 변의 길이는 \(-\frac{27}{8} + \frac{27}{8}\sqrt{3}\) cm입니다.
Step 4: \(a+b\) 계산
작은 정사각형의 한 변의 길이를 \(a\sqrt{3} + b\) 형태로 나타내면, \(a = \frac{27}{8}\), \(b = -\frac{27}{8}\) 입니다.
따라서, \(a+b = \frac{27}{8} – \frac{27}{8} = 0\) 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 닮음 도형의 성질과 무리수 계산을 결합한 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 닮음 도형의 이해: 닮음 도형의 넓이비와 변의 길이의 비의 관계를 이해하고 적용합니다.
- 비례식 활용: 넓이의 비를 이용하여 변의 길이의 비를 구합니다.
- 방정식 설정 및 풀이: 주어진 조건을 이용하여 방정식을 세우고, 그 해를 구합니다.
- 무리수 계산: 분모의 유리화를 포함한 무리수 계산을 정확하게 수행합니다.
이 문제에서는 넓이의 비를 이용하여 변의 길이의 비를 구하고, 끈의 길이를 이용하여 방정식을 세워 작은 정사각형의 한 변의 길이를 구했습니다. 닮음, 비례식, 무리수 계산 능력을 함께 평가하는 좋은 문제입니다.
✅ 최종 정답
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