📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 \(x\)의 복잡한 값을 간단하게 정리한 후, 주어진 식 \(2x^2 + 30x – 12\)의 값을 구하는 문제입니다. 분모를 유리화하여 \(x\)를 간단하게 만들고, 주어진 식을 \(x\)에 대한 식으로 변형하여 값을 계산합니다. 분모의 유리화, 식 변형, 완전 제곱식 활용이 핵심입니다.
- \(x\)의 간소화: 분모를 유리화하여 \(x\)를 \(a + b\sqrt{2}\) 꼴로 간단하게 만듭니다.
- 식 변형: \(2x^2 + 30x – 12\)를 \(x\)에 대한 다른 식으로 표현합니다. 주어진 식에 있는 \(x\)의 계수들을 활용합니다.
- 값 대입 및 계산: 변형된 식에 \(x\) 값을 대입하여 값을 계산합니다.
핵심 공식:
\((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\)
\((x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(x\)의 간소화
\(x\)의 분모를 유리화합니다.
$$ x = \frac{1}{7 – 5\sqrt{2}} = \frac{7+5\sqrt{2}}{(7-5\sqrt{2})(7+5\sqrt{2})} = \frac{7+5\sqrt{2}}{49 – 50} = -7-5\sqrt{2} $$
Step 2: 식 변형
\(2x^2 + 30x – 12\)를 \(x\)에 대한 식으로 변형합니다. \(x+7 = -5\sqrt{2}\) 이므로, \(x^2 + 14x\)의 값을 알 수 있습니다.
$$ 2x^2 + 30x – 12 = 2x^2 + 28x + 2x – 12 = 2(x^2 + 14x) + 2x – 12 $$
양변을 제곱합니다.
$$ x + 7 = -5\sqrt{2} $$
$$ (x+7)^2 = 50 $$
$$ x^2 + 14x + 49 = 50 $$
$$ x^2 + 14x = 1 $$
따라서, \(2(x^2 + 14x) + 2x – 12\) 식을 다시 정리합니다.
$$ 2(x^2 + 14x) + 2x – 12 = 2 \cdot 1 + 2x – 12 = 2 + 2x – 12 $$
Step 3: 값 대입 및 계산
계산합니다.
$$ 2 + 2x – 12 = 2x – 10 $$
\(x = -7 – 5\sqrt{2}\) 이므로
$$ 2(-7-5\sqrt{2})-10 = -14-10\sqrt{2}-10 = -24-10\sqrt{2} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 식을 간단하게 만들고 값을 계산하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 분모의 유리화: 분모에 무리수가 있는 경우, 분모를 유리화하여 식을 간단하게 만듭니다.
- 식 변형: 주어진 식을 \(x\)에 대한 다른 식으로 변형합니다.
- 곱셈 공식 활용: 완전 제곱식과 같은 곱셈 공식을 활용하여 식을 변형합니다.
- 계산: 값을 대입하여 정확하게 계산합니다.
이 문제에서는 \(x\)의 분모를 유리화하고, 주어진 식을 \(x\)에 대한 식으로 변형하여 값을 계산했습니다. 식을 변형하고, 곱셈 공식을 적절하게 활용하는 연습이 중요합니다.
✅ 최종 정답
\(-24 – 10\sqrt{2}\)