📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 \(0 < θ < 2\pi\) 범위에서 각 \(θ\)와 \(3θ\)를 나타내는 동경이 직선 \(y=x\)에 대칭일 때, \(θ\)의 개수를 구하는 문제입니다. 두 동경이 \(y=x\)에 대칭일 경우 두 각의 합은 \(90^\circ\)에 \(360^\circ\)의 정수 배를 더한 값과 같습니다. 이를 이용하여 \(θ\)에 대한 방정식을 세우고, 주어진 범위 내에서 해를 구합니다. 동경의 위치 관계, 방정식 풀이, 부등식 활용이 핵심입니다.
- 동경의 위치 관계: 두 동경이 \(y=x\)에 대칭일 때의 각의 합의 특징을 이해합니다.
- 방정식 설정: 두 각의 합이 \(90^\circ\)에 \(360^\circ\)의 정수 배임을 이용하여 \(θ\)에 대한 방정식을 세웁니다.
- 방정식 풀이: 방정식을 풀어 \(θ\)의 일반해를 구합니다.
- 범위 내 해 찾기: 주어진 범위 \(0 < θ < 2\pi\) 내에서 \(θ\)의 값을 구하고, 개수를 세어 답을 찾습니다.
핵심 개념:
두 동경이 \(y=x\)에 대칭일 조건: 두 각의 합은 \(360^\circ \times n + 90^\circ\) ( \(n\)은 정수 )
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 동경의 위치 관계 파악
두 동경 \(θ\)와 \(3θ\)가 직선 \(y=x\)에 대칭이므로, 두 각의 합은 \(90^\circ\)에 \(360^\circ\)의 정수 배입니다. 즉,
$$ \theta + 3\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{2} \quad (n은 정수) $$
Step 2: \(θ\)에 대한 방정식 풀이
방정식을 풀어서 \(θ\)의 일반해를 구합니다.
$$ 4\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{2} $$
$$ \theta = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{8} $$
Step 3: 범위 내 해 찾기
주어진 범위 \(0 < θ < 2\pi\) 내에서 \(θ\)의 값을 찾습니다.
$$ 0 < \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{8} < 2\pi $$
\(\pi\)로 나누고, \(\frac{1}{2}\)를 곱합니다.
$$ 0 < \frac{n}{2} + \frac{1}{8} < 2 $$
\(\frac{1}{8}\)을 빼면:
$$ -\frac{1}{8} < \frac{n}{2} < \frac{15}{8} $$
2를 곱하면:
$$ -\frac{1}{4} < n < \frac{15}{4} $$
\(n\)은 정수이므로, \(n\)의 값은 0, 1, 2, 3 입니다.
따라서 \(θ\)의 개수는 4개입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 삼각함수의 동경의 위치 관계를 이해하고, 방정식을 풀어 해를 구하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 동경의 위치 관계: 두 동경이 \(y=x\)에 대칭일 때의 각의 합을 정확하게 이해합니다.
- 방정식 설정: 주어진 조건을 이용하여 \(θ\)에 대한 방정식을 정확하게 세웁니다.
- 방정식 풀이: 방정식을 풀어서 \(θ\)의 일반해를 구합니다.
- 범위 내 해 찾기: 주어진 범위 내에서 해를 찾고, 해의 개수를 셉니다.
이 문제에서는 두 동경이 \(y=x\)에 대칭일 때 두 각의 합을 이용하여 방정식을 세우고, 그 해를 구했습니다. 동경의 위치 관계를 정확하게 이해하고, 부등식을 활용하여 범위 내의 해를 찾는 연습이 중요합니다.
✅ 최종 정답
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