📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 부채꼴의 중심각과 호의 길이를 이용하여 넓이를 구하고, 넓이를 \(α\pi\) 형태로 나타낼 때, \(α\)의 값을 구하는 문제입니다. 부채꼴의 호의 길이와 중심각의 관계, 부채꼴의 넓이 공식을 이용하여 문제를 해결합니다. 호의 길이 공식, 부채꼴 넓이 공식, 식의 변형이 핵심입니다.
- 반지름 구하기: 호의 길이 공식 \(l = rθ\)을 이용하여 부채꼴의 반지름 \(r\)을 구합니다.
- 넓이 구하기: 부채꼴의 넓이 공식 \(S = \frac{1}{2}rl\) 또는 \(S = \frac{1}{2}r^2θ\)을 이용하여 넓이 \(S\)를 구합니다.
- \(α\)값 구하기: 구한 넓이를 \(α\pi\) 형태로 나타내어 \(α\)의 값을 찾습니다.
핵심 공식:
호의 길이 \(l = rθ\)
부채꼴의 넓이 \(S = \frac{1}{2}rl = \frac{1}{2}r^2θ\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 반지름 구하기
호의 길이 공식 \(l = rθ\)을 이용하여 부채꼴의 반지름 \(r\)을 구합니다. \(l = 4\pi\), \(θ = \frac{4}{9}\pi\) 이므로
$$ 4\pi = r \cdot \frac{4}{9}\pi $$
양변을 \(\frac{4}{9}\pi\)로 나누면:
$$ r = 9 $$
Step 2: 넓이 구하기
부채꼴의 넓이 공식 \(S = \frac{1}{2}rl\)을 이용하여 넓이 \(S\)를 구합니다. \(r=9\), \(l=4\pi\) 이므로
$$ S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4\pi = 18\pi $$
Step 3: \(α\)값 구하기
부채꼴의 넓이 \(S = 18\pi\)를 \(α\pi\) 형태로 나타내면, \(α = 18\) 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 부채꼴의 성질을 이해하고, 공식을 활용하여 넓이를 구하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 호의 길이 공식: \(l = rθ\) ( \(l\): 호의 길이, \(r\): 반지름, \(θ\): 중심각 )
- 부채꼴의 넓이 공식: \(S = \frac{1}{2}rl = \frac{1}{2}r^2θ\) ( \(S\): 넓이 )
이 문제에서는 호의 길이 공식을 이용하여 반지름을 구하고, 부채꼴의 넓이 공식을 이용하여 넓이를 계산했습니다. 부채꼴 관련 공식들을 정확하게 이해하고 적용하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
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