📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 제2사분면의 각 \(θ\)에 대해 \(\cos θ\)의 값이 주어졌을 때, \(\frac{1}{\sin θ} + \frac{1}{\tan θ}\)의 값을 구하는 문제입니다. 삼각함수 관계식을 이용하여 \(\sin θ\)의 값을 구하고, \(\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}\) 관계를 이용하여 주어진 식을 간단하게 만든 후, 값을 대입하여 계산합니다. 삼각함수 제곱 관계, 탄젠트 정의, 사분면별 부호가 핵심입니다.
- \(\sin θ\) 값 구하기: \(\sin^2 θ + \cos^2 θ = 1\)을 이용하여 \(\sin^2 θ\)의 값을 구하고, 제2사분면의 각이므로 \(\sin θ > 0\)임을 이용하여 \(\sin θ\)의 값을 구합니다.
- 식 간단히 하기: \(\frac{1}{\sin θ} + \frac{1}{\tan θ}\)를 통분하여 간단하게 정리합니다. \(\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}\) 이므로 \(\frac{1}{\tan θ} = \frac{\cos θ}{\sin θ}\) 입니다.
- 값 대입 및 계산: 간단하게 정리된 식에 \(\sin θ\)와 \(\cos θ\)의 값을 대입하여 계산합니다.
핵심 공식:
\(\sin^2 θ + \cos^2 θ = 1\)
\(\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(\sin θ\) 값 구하기
\(\sin^2 θ + \cos^2 θ = 1\)에서 \(\cos θ = -\frac{8}{17}\)이므로,
$$ \sin^2 θ = 1 – \cos^2 θ = 1 – \left(-\frac{8}{17}\right)^2 = 1 – \frac{64}{289} = \frac{225}{289} $$
\(θ\)가 제2사분면의 각이므로 \(\sin θ > 0\) 입니다.
$$ \sin θ = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17} $$
Step 2: 식 간단히 하기
주어진 식을 간단하게 정리합니다.
$$ \frac{1}{\sin θ} + \frac{1}{\tan θ} = \frac{1}{\sin θ} + \frac{1}{\frac{\sin θ}{\cos θ}} = \frac{1}{\sin θ} + \frac{\cos θ}{\sin θ} $$
$$ = \frac{1 + \cos θ}{\sin θ} $$
Step 3: 값 대입 및 계산
Step 1과 주어진 값을 Step 2에서 정리한 식에 대입합니다.
$$ \frac{1 + \cos θ}{\sin θ} = \frac{1 + (-\frac{8}{17})}{\frac{15}{17}} = \frac{\frac{17}{17} – \frac{8}{17}}{\frac{15}{17}} = \frac{\frac{9}{17}}{\frac{15}{17}} $$
분모, 분자에서 \(\frac{1}{17}\)을 약분하면:
$$ = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 삼각함수 사이의 관계와 사분면별 부호를 이용하여 식의 값을 구하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 삼각함수 제곱 관계: \(\sin^2 θ + \cos^2 θ = 1\)을 이용하여 한 삼각함수 값을 알 때 다른 삼각함수 값을 구할 수 있습니다.
- 탄젠트의 정의: \(\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}\) 관계를 이용하여 식을 변형할 수 있습니다.
- 사분면별 부호: 각 사분면에서 삼각함수의 부호를 정확히 알아야 합니다. 제2사분면에서는 \(\sin θ > 0\), \(\cos θ < 0\), \(\tan θ < 0\) 입니다.
이 문제에서는 \(\cos θ\) 값과 사분면 정보를 이용하여 \(\sin θ\) 값을 구하고, 주어진 식을 간단히 하여 값을 계산했습니다. 삼각함수 관계식을 능숙하게 활용하고, 사분면별 부호를 정확히 판단하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
② \(\frac{3}{5}\)