📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 삼각함수 항등식을 만족하는 상수 \(a\)의 값을 구하는 문제입니다. 등식의 좌변을 삼각함수 관계식을 이용하여 간단하게 정리하고, 우변과 비교하여 \(a\)의 값을 구합니다. 통분, 삼각함수 제곱 관계, 탄젠트 정의 활용이 핵심입니다.
- 좌변 정리: 등식의 좌변 \(\frac{\tan θ}{1-\cos θ} – \frac{\tan θ}{1+\cos θ}\)를 간단하게 만듭니다.
- 공통 인수 묶기: \(\tan θ\)를 공통 인수로 묶어냅니다.
- 통분: 괄호 안의 분수식을 통분하여 계산합니다.
- 삼각함수 관계식 적용: \(1 – \cos^2 θ = \sin^2 θ\)와 \(\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}\) 관계식을 적용하여 식을 더 간단히 만듭니다.
- 계수 비교: 정리된 좌변과 우변 \(\frac{a}{\sin θ}\)를 비교하여 \(a\)의 값을 구합니다.
핵심 공식:
\((a-b)(a+b) = a^2 – b^2\)
\(\sin^2 θ + \cos^2 θ = 1 \implies 1 – \cos^2 θ = \sin^2 θ\)
\(\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 좌변 정리 시작 (공통 인수 묶기)
주어진 등식의 좌변을 정리합니다. \(\tan θ\)를 공통 인수로 묶습니다.
$$ \frac{\tan θ}{1-\cos θ} – \frac{\tan θ}{1+\cos θ} = \tan θ \left( \frac{1}{1-\cos θ} – \frac{1}{1+\cos θ} \right) $$
Step 2: 통분하여 계산
괄호 안의 분수식을 통분합니다. 공통 분모는 \((1-\cos θ)(1+\cos θ) = 1 – \cos^2 θ\) 입니다.
$$ = \tan θ \left\{ \frac{(1+\cos θ) – (1-\cos θ)}{(1-\cos θ)(1+\cos θ)} \right\} $$
$$ = \tan θ \left( \frac{1+\cos θ – 1+\cos θ}{1 – \cos^2 θ} \right) $$
$$ = \tan θ \left( \frac{2\cos θ}{1 – \cos^2 θ} \right) $$
Step 3: 삼각함수 관계식 적용
분모에 \(\sin^2 θ + \cos^2 θ = 1\) 에서 \(1 – \cos^2 θ = \sin^2 θ\)를 적용하고, \(\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}\)를 대입합니다.
$$ = \tan θ \times \frac{2\cos θ}{\sin^2 θ} $$
$$ = \frac{\sin θ}{\cos θ} \times \frac{2\cos θ}{\sin^2 θ} $$
Step 4: 식 간소화 및 계수 비교
식을 간소화합니다.
$$ = \frac{2\sin θ \cos θ}{\cos θ \sin^2 θ} = \frac{2}{\sin θ} $$
이제 정리된 좌변 \(\frac{2}{\sin θ}\)와 우변 \(\frac{a}{\sin θ}\)를 비교합니다.
$$ \frac{2}{\sin θ} = \frac{a}{\sin θ} $$
따라서, \(a = 2\)입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 삼각함수 항등식을 간단하게 정리하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 삼각함수 관계식: \(\sin^2 θ + \cos^2 θ = 1\)과 \(\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}\) 같은 기본적인 삼각함수 관계식을 능숙하게 활용해야 합니다.
- 대수적 조작: 통분, 인수분해, 약분 등 기본적인 대수적 조작을 정확하게 수행해야 합니다.
이 문제에서는 좌변을 통분하고 삼각함수 관계식을 적용하여 간단히 한 후, 우변과 비교하여 상수 \(a\)의 값을 구했습니다. 삼각함수 계산은 관계식을 정확히 기억하고 적용하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
② 2