📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 보기 (ㄱ, ㄴ, ㄷ)에서 옳은 삼각함수 항등식을 모두 고르는 문제입니다. 각 보기에 대해 좌변을 삼각함수 기본 관계식을 이용하여 간단하게 정리하고, 우변과 일치하는지 확인하여 참/거짓을 판별합니다. 삼각함수 기본 공식의 정확한 이해와 적용이 중요합니다.
- 보기 ㄱ 확인: 좌변을 통분하여 계산하고, 삼각함수 관계식을 이용하여 간단히 합니다. 우변과 비교하여 참/거짓을 판별합니다.
- 보기 ㄴ 확인: 좌변의 각 항을 삼각함수 관계식을 이용하여 변형하고 곱하여 간단히 합니다. 우변과 비교하여 참/거짓을 판별합니다.
- 보기 ㄷ 확인: 좌변을 \(\sin θ\)와 \(\cos θ\)로 나타내어 정리하거나, \(\tan^2 θ\)를 공통 인수로 묶어 간단히 합니다. 우변과 비교하여 참/거짓을 판별합니다.
핵심 공식:
\(\sin^2 θ + \cos^2 θ = 1\)
\(1 + \tan^2 θ = \sec^2 θ = \frac{1}{\cos^2 θ}\)
\(1 + \cot^2 θ = \csc^2 θ = \frac{1}{\sin^2 θ}\)
\(\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}\), \(\cot θ = \frac{\cos θ}{\sin θ}\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 보기 ㄱ 확인
좌변을 통분합니다.
$$ \frac{1+\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{1+\sin \theta} = \frac{(1+\sin \theta)^2 + \cos^2 \theta}{\cos \theta (1+\sin \theta)} $$
분자를 전개합니다.
$$ = \frac{1 + 2\sin \theta + \sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\cos \theta (1+\sin \theta)} $$
\(\sin^2 θ + \cos^2 θ = 1\)을 이용합니다.
$$ = \frac{1 + 2\sin \theta + 1}{\cos \theta (1+\sin \theta)} = \frac{2 + 2\sin \theta}{\cos \theta (1+\sin \theta)} $$
분자를 인수분해하고 약분합니다.
$$ = \frac{2(1+\sin \theta)}{\cos \theta (1+\sin \theta)} = \frac{2}{\cos \theta} $$
우변은 \(\frac{2}{\sin \theta}\)이므로, 좌변과 우변이 다릅니다. 따라서 보기 ㄱ은 틀립니다.
Step 2: 보기 ㄴ 확인
좌변의 각 항을 삼각함수 관계식을 이용하여 변형합니다.
\(1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}\)
\(1+\frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}\)
\(1-\sin^2 \theta = \cos^2 \theta\)
\(1-\cos^2 \theta = \sin^2 \theta\)
좌변에 대입합니다.
$$ (1+\tan^2 \theta)(1+\frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta})(1-\sin^2 \theta)(1-\cos^2 \theta) = \left(\frac{1}{\cos^2 \theta}\right) \left(\frac{1}{\sin^2 \theta}\right) (\cos^2 \theta) (\sin^2 \theta) $$
약분하여 계산합니다.
$$ = 1 $$
우변은 1이므로, 좌변과 우변이 같습니다. 따라서 보기 ㄴ은 옳습니다.
Step 3: 보기 ㄷ 확인
좌변을 변형합니다. \(\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}\)를 대입합니다.
$$ \tan^2 \theta – \sin^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} – \sin^2 \theta $$
\(\sin^2 \theta\)로 묶습니다.
$$ = \sin^2 \theta \left( \frac{1}{\cos^2 \theta} – 1 \right) $$
괄호 안을 통분합니다.
$$ = \sin^2 \theta \left( \frac{1 – \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} \right) $$
\(1 – \cos^2 \theta = \sin^2 \theta\)를 이용합니다.
$$ = \sin^2 \theta \left( \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} \right) = \sin^2 \theta \tan^2 \theta $$
우변은 \(\tan^2 \theta \sin^2 \theta\)이므로, 좌변과 우변이 같습니다. 따라서 보기 ㄷ은 옳습니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 여러 삼각함수 항등식의 참/거짓을 판별하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 삼각함수 기본 관계식: \(\sin^2 θ + \cos^2 θ = 1\), \(1 + \tan^2 θ = \sec^2 θ\), \(\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}\) 등 기본적인 관계식을 정확하게 알고 있어야 합니다.
- 대수적 조작 능력: 분수의 통분, 인수분해, 약분 등 대수적인 계산을 정확하게 수행하는 능력이 필요합니다.
- 단계별 검증: 복잡한 항등식은 한 단계씩 차근차근 변형하여 간단하게 만드는 과정이 중요합니다.
보기 ㄱ, ㄴ, ㄷ을 각각 검증한 결과, ㄴ과 ㄷ이 옳은 항등식임을 확인했습니다. 따라서 옳은 것을 모두 고른 것은 ㄴ, ㄷ 입니다.
✅ 최종 정답
④ ㄴ, ㄷ