📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 \(\sin \theta + \cos \theta\)의 값이 주어졌을 때, \(\sin^3 \theta + \cos^3 \theta\)의 값을 구하는 문제입니다. 주어진 식의 양변을 제곱하여 \(\sin \theta \cos \theta\)의 값을 먼저 구하고, 곱셈 공식의 변형을 이용하여 \(\sin^3 \theta + \cos^3 \theta\)를 \(\sin \theta + \cos \theta\)와 \(\sin \theta \cos \theta\)로 표현하여 값을 계산합니다. 삼각함수 제곱 관계와 세제곱 합 공식 활용이 핵심입니다.
- \(\sin \theta \cos \theta\) 값 구하기: 주어진 식 \(\sin \theta + \cos \theta = \frac{3}{2}\)의 양변을 제곱하고, \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)을 이용하여 \(\sin \theta \cos \theta\)의 값을 구합니다.
- 세제곱 합 공식 활용: 곱셈 공식의 변형 \(a^3 + b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a+b)\)을 이용하여 \(\sin^3 \theta + \cos^3 \theta\)를 \(\sin \theta + \cos \theta\)와 \(\sin \theta \cos \theta\)로 나타냅니다.
- 값 대입 및 계산: 구한 값들을 공식에 대입하여 최종 값을 계산합니다.
핵심 공식:
\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
\(a^3 + b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a+b)\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(\sin \theta \cos \theta\) 값 구하기
주어진 식 \(\sin \theta + \cos \theta = \frac{3}{2}\)의 양변을 제곱합니다.
$$ (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 $$
좌변을 전개합니다.
$$ \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{9}{4} $$
\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)을 적용합니다.
$$ 1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{9}{4} $$
식을 \(\sin \theta \cos \theta\)에 대해 정리합니다.
$$ 2\sin \theta \cos \theta = \frac{9}{4} – 1 = \frac{5}{4} $$
$$ \sin \theta \cos \theta = \frac{5}{8} $$
Step 2: 세제곱 합 공식 활용 및 계산
세제곱 합 공식 \(a^3 + b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a+b)\)에 \(a = \sin \theta\), \(b = \cos \theta\)를 대입합니다.
$$ \sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)^3 – 3\sin \theta \cos \theta (\sin \theta + \cos \theta) $$
알려진 값 \(\sin \theta + \cos \theta = \frac{3}{2}\)와 Step 1에서 구한 \(\sin \theta \cos \theta = \frac{5}{8}\)를 대입합니다.
$$ = \left(\frac{3}{2}\right)^3 – 3 \left(\frac{5}{8}\right) \left(\frac{3}{2}\right) $$
계산합니다.
$$ = \frac{27}{8} – 3 \left(\frac{15}{16}\right) $$
$$ = \frac{27}{8} – \frac{45}{16} $$
통분하여 계산합니다.
$$ = \frac{54}{16} – \frac{45}{16} = \frac{9}{16} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 \(\sin \theta + \cos \theta\) 값이 주어졌을 때 \(\sin^3 \theta + \cos^3 \theta\) 값을 구하는 문제입니다. 삼각함수 기본 관계식과 곱셈 공식의 변형을 활용하는 것이 핵심입니다.
- \(\sin \theta \cos \theta\) 구하기: \(\sin \theta + \cos \theta\) (또는 \(\sin \theta – \cos \theta\)) 값이 주어지면 양변을 제곱하고 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)을 이용하여 \(\sin \theta \cos \theta\) 값을 구할 수 있습니다.
- 세제곱 합 공식: \(a^3 + b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a+b)\) 공식을 이용하여 \(a+b\)와 \(ab\) 값을 알 때 \(a^3+b^3\) 값을 구할 수 있습니다.
주어진 식을 제곱하여 \(\sin \theta \cos \theta\) 값을 구한 후, 세제곱 합 공식을 이용하여 최종 값을 계산하는 단계적인 접근이 필요합니다. 곱셈 공식을 정확히 기억하고 적용하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
④ \(\frac{9}{16}\)