📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 계수가 유리수인 이차방정식의 한 근이 주어졌을 때, 켤레근의 성질과 근과 계수의 관계를 이용하여 특정 삼각함수 식의 값을 구하는 문제입니다. 켤레근 성질을 이용하여 다른 근을 구하고, 근과 계수의 관계(두 근의 합)를 이용하여 \(\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}\) 값을 구합니다. 이 값을 삼각함수 관계식을 이용하여 \(\sin \theta \cos \theta\)로 표현하고, 최종적으로 \(18\sin \theta \cos \theta\) 값을 계산합니다.
- 켤레근 성질 이용: 계수가 유리수인 이차방정식의 한 근이 \(p + q\sqrt{m}\) (p, q는 유리수, \(\sqrt{m}\)은 무리수)이면 다른 근은 \(p – q\sqrt{m}\)임을 이용합니다.
- 근과 계수의 관계 활용: 이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, 두 근의 합 \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\) 관계를 이용합니다.
- 삼각함수 관계식 적용: \(\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}\)를 \(\sin \theta, \cos \theta\)로 표현하고, \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)을 이용하여 \(\sin \theta \cos \theta\) 값을 구합니다.
- 최종 값 계산: 구한 \(\sin \theta \cos \theta\) 값을 이용하여 \(18\sin \theta \cos \theta\) 값을 계산합니다.
핵심 개념:
1. 켤레근의 성질
2. 이차방정식의 근과 계수의 관계
3. 삼각함수 관계식: \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\), \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 다른 한 근 구하기
주어진 이차방정식 \(x^2 – \left(\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}\right)x + 4 = 0\)의 계수는 유리수입니다 (\(1\), \(-\left(\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}\right)\), \(4\)). ( \( \tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} \) 값은 아직 모르지만, 근과 계수의 관계로 유리수가 될 것입니다.)
한 근이 \(3 + \sqrt{5}\)이므로, 켤레근의 성질에 의해 다른 한 근은 \(3 – \sqrt{5}\)입니다.
Step 2: 근과 계수의 관계 적용
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합은 다음과 같습니다.
$$ (3 + \sqrt{5}) + (3 – \sqrt{5}) = -\frac{-\left(\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}\right)}{1} $$
좌변을 계산하면 \(6\)이므로,
$$ 6 = \tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} $$
Step 3: \(\sin \theta \cos \theta\) 값 구하기
\(\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}\)를 \(\sin \theta\)와 \(\cos \theta\)로 표현합니다.
$$ \tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} $$
통분하여 계산합니다.
$$ = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} $$
\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)이므로,
$$ = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} $$
Step 2에서 구한 값과 연결하면,
$$ \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = 6 $$
따라서,
$$ \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{6} $$
Step 4: 최종 값 계산
문제에서 요구하는 \(18\sin \theta \cos \theta\)의 값을 계산합니다.
$$ 18 \sin \theta \cos \theta = 18 \times \frac{1}{6} = 3 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 이차방정식의 켤레근 성질, 근과 계수의 관계, 그리고 삼각함수 관계식을 종합적으로 활용하는 문제입니다. 핵심 개념을 정리하면 다음과 같습니다.
- 켤레근 성질: 계수가 유리수인 방정식에서 무리수 근이 존재할 때, 그 켤레수도 반드시 근이 됩니다. 이를 통해 다른 근을 쉽게 찾을 수 있습니다.
- 근과 계수의 관계: 이차방정식의 근과 계수 사이의 관계(\( \alpha+\beta = -b/a, \alpha\beta = c/a \))는 방정식의 계수를 이용하여 근에 대한 정보를 얻거나, 근의 정보를 이용하여 계수에 대한 정보를 얻는 데 유용합니다.
- 삼각함수 관계식: \(\tan \theta\)와 \(\sin \theta, \cos \theta\) 사이의 관계(\(\tan \theta = \sin \theta / \cos \theta\)) 및 제곱 관계(\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\))는 삼각함수 식을 변형하고 계산하는 데 필수적입니다. 특히 \(\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta}\) 임을 알아두면 유용합니다.
이 문제에서는 이러한 개념들을 단계적으로 적용하여 이차방정식의 계수에 포함된 삼각함수 표현(\(\tan \theta + 1/\tan \theta\))의 값을 구하고, 이를 통해 최종적으로 \(18 \sin \theta \cos \theta\) 값을 계산했습니다.
✅ 최종 정답
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