📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 반지름의 길이가 같은 부채꼴과 원의 둘레의 길이 사이의 관계를 이용하여 부채꼴의 중심각의 크기를 구하는 문제입니다. 부채꼴과 원의 둘레 길이를 각각 반지름 \(r\)과 중심각 \(θ\) (라디안)를 이용하여 나타내고, 주어진 비례 관계를 이용하여 방정식을 세워 \(θ\)를 구합니다.
- 둘레 공식 설정: 부채꼴의 둘레 길이와 원의 둘레 길이 공식을 세웁니다. (부채꼴 둘레 = \(2r + l = 2r + rθ\), 원 둘레 = \(2\pi r\))
- 방정식 설정: 문제에서 주어진 “부채꼴의 둘레 길이가 원의 둘레 길이의 \(\frac{5}{8}\)”라는 조건을 이용하여 방정식을 세웁니다.
- 방정식 풀이: 세운 방정식을 \(θ\)에 대하여 풀어 중심각의 크기를 구합니다.
핵심 공식:
반지름이 \(r\), 중심각이 \(θ\) (라디안)인 부채꼴:
- 호의 길이 \(l = rθ\)
- 둘레의 길이 = \(2r + l = 2r + rθ\)
반지름이 \(r\)인 원:
- 둘레의 길이 = \(2\pi r\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 둘레 공식 설정
부채꼴과 원의 반지름의 길이를 \(r\), 부채꼴의 중심각의 크기를 \(θ\) (라디안)라고 합니다.
부채꼴의 둘레의 길이는 두 반지름의 길이와 호의 길이의 합이므로:
$$ \text{부채꼴 둘레} = 2r + rθ $$
원의 둘레의 길이는:
$$ \text{원 둘레} = 2\pi r $$
Step 2: 방정식 설정
문제에서 부채꼴의 둘레 길이가 원의 둘레 길이의 \(\frac{5}{8}\)라고 했으므로, 다음과 같은 방정식을 세울 수 있습니다.
$$ 2r + rθ = \frac{5}{8} \times (2\pi r) $$
Step 3: 방정식 풀이
방정식을 간단히 정리합니다.
$$ 2r + rθ = \frac{5}{4}\pi r $$
양변을 \(r\)로 나눕니다. (반지름 \(r\)은 0보다 크므로 나눌 수 있습니다.)
$$ 2 + θ = \frac{5}{4}\pi $$
\(θ\)에 대해 풉니다.
$$ θ = \frac{5}{4}\pi – 2 $$
따라서 부채꼴의 중심각의 크기는 \(\frac{5}{4}\pi – 2\) 라디안입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 부채꼴과 원의 둘레 길이에 대한 공식을 정확히 이해하고, 주어진 조건을 이용하여 방정식을 세워 푸는 능력을 평가합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 부채꼴의 둘레 길이: 두 반지름의 길이와 호의 길이(\(l=rθ\))를 합한 \(2r + rθ\) 입니다.
- 원의 둘레 길이: \(2\pi r\) 입니다.
- 방정식 활용: 문제에서 주어진 도형 간의 관계를 식으로 표현하고, 미지수(여기서는 중심각 \(θ\))를 구하기 위해 방정식을 풀어야 합니다.
부채꼴과 원의 둘레 공식을 정확히 기억하고, 주어진 비율 관계를 이용하여 방정식을 올바르게 설정하는 것이 중요합니다. 또한, 계산 과정에서 변수 \(r\)을 약분할 수 있다는 점( \(r>0\) 이므로)을 이해하는 것도 필요합니다.
✅ 최종 정답
④ \(\frac{5}{4}\pi – 2\)