📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 범위의 자연수 \(n\)에 대하여, \(-n^2+9n-18\)의 \(n\)제곱근 중에서 음의 실수가 존재하도록 하는 모든 \(n\)의 값의 합을 구하는 문제입니다. \(a\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것은 \(n\)이 짝수인지 홀수인지, 그리고 \(a\)의 부호에 따라 달라집니다. 이 성질을 이용하여 문제를 해결합니다.
- \(a\)의 \(n\)제곱근 중 실수:
- \(n\)이 짝수일 때: \(a > 0\)이면 양수와 음수 두 개(\(\pm \sqrt[n]{a}\)), \(a=0\)이면 0 한 개, \(a < 0\)이면 실수 없음.
- \(n\)이 홀수일 때: \(a\)의 부호에 관계없이 항상 한 개(\(\sqrt[n]{a}\)) 존재하며, 그 부호는 \(a\)의 부호와 같습니다.
- 음의 실근 존재 조건 분석: 위의 성질로부터 \(n\)제곱근 중 음의 실수가 존재할 조건을 도출합니다.
- \(n\)이 짝수이면 밑(\(-n^2+9n-18\))이 0보다 커야 합니다. (\(a > 0\))
- \(n\)이 홀수이면 밑(\(-n^2+9n-18\))이 0보다 작아야 합니다. (\(a < 0\))
- 밑의 부호 판별: \(-n^2+9n-18\)의 부호를 \(n\)의 범위에 따라 판별하기 위해 인수분해합니다.
- \(n\) 값 찾기 및 합 계산: 주어진 \(n\)의 범위(\(2 \le n \le 11\))에서 위의 두 조건을 만족하는 짝수 \(n\)과 홀수 \(n\)을 각각 찾고, 그 합을 구합니다.
핵심 개념: \(a\)의 \(n\)제곱근 중 음의 실수가 존재할 조건
- \(n\)이 짝수일 때: \(a > 0\)
- \(n\)이 홀수일 때: \(a < 0\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 밑의 부호 판별
제곱근의 밑이 되는 식 \(-n^2+9n-18\)을 인수분해합니다.
$$ -n^2+9n-18 = -(n^2 – 9n + 18) = -(n-3)(n-6) $$
이 식의 부호를 \(n\)의 값에 따라 판별합니다.
- \(-(n-3)(n-6) > 0\) (양수) \(\iff (n-3)(n-6) < 0 \iff 3 < n < 6\)
- \(-(n-3)(n-6) < 0\) (음수) \(\iff (n-3)(n-6) > 0 \iff n < 3 \text{ 또는 } n > 6\)
- \(-(n-3)(n-6) = 0\) \(\iff n=3 \text{ 또는 } n=6\) (이때는 음의 실근이 존재하지 않음)
Step 2: \(n\)이 짝수일 때 조건 만족하는 \(n\) 찾기
\(n\)이 짝수일 때는 음의 실근이 존재하려면 밑 \(-n^2+9n-18\)이 0보다 커야 합니다.
Step 1에서 \(-n^2+9n-18 > 0\) 인 경우는 \(3 < n < 6\) 입니다.
주어진 \(n\)의 범위 \(2 \le n \le 11\) 중에서 \(3 < n < 6\)를 만족하는 짝수 \(n\)은 \(n=4\) 입니다.
Step 3: \(n\)이 홀수일 때 조건 만족하는 \(n\) 찾기
\(n\)이 홀수일 때는 음의 실근이 존재하려면 밑 \(-n^2+9n-18\)이 0보다 작아야 합니다.
Step 1에서 \(-n^2+9n-18 < 0\) 인 경우는 \(n < 3\) 또는 \(n > 6\) 입니다.
주어진 \(n\)의 범위 \(2 \le n \le 11\) 중에서
- \(n < 3\)을 만족하는 홀수 \(n\)은 없습니다. ( \(n=2\)는 짝수)
- \(n > 6\)을 만족하는 홀수 \(n\)은 \(7, 9, 11\) 입니다.
따라서 이 경우를 만족하는 홀수 \(n\)은 \(7, 9, 11\) 입니다.
Step 4: 조건 만족하는 모든 \(n\)의 값의 합 계산
Step 2와 Step 3에서 찾은 모든 \(n\)의 값은 \(4, 7, 9, 11\) 입니다.
이 값들의 합을 구합니다.
$$ 4 + 7 + 9 + 11 = 31 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 \(a\)의 \(n\)제곱근 중 실수, 특히 음의 실수가 존재할 조건을 정확히 이해하고 적용하는 능력을 평가합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- \(n\)제곱근의 실수 조건: 실수 \(a\)에 대하여 \(x^n=a\)를 만족하는 실수 \(x\)의 존재 여부 및 개수는 \(n\)의 홀짝성과 \(a\)의 부호에 따라 결정됩니다.
- 음의 실수 제곱근 조건 요약:
- \(n\)이 짝수이면 \(a>0\)일 때만 음의 실수 제곱근(\(-\sqrt[n]{a}\))이 존재합니다.
- \(n\)이 홀수이면 \(a<0\)일 때만 음의 실수 제곱근(\(\sqrt[n]{a}\), 이때 \(\sqrt[n]{a}\) 자체가 음수)이 존재합니다.
- 이차 부등식 풀이: 제곱근의 밑이 되는 식이 \(n\)에 대한 이차식으로 주어졌으므로, 이 이차식의 부호를 판별하기 위해 이차 부등식을 풀어야 합니다.
문제의 조건을 \(n\)이 짝수인 경우와 홀수인 경우로 나누어 분석하고, 각 경우에 대해 밑(\(-n^2+9n-18\))의 부호 조건을 만족하는 \(n\)값을 주어진 범위 내에서 찾아 합하는 단계적인 풀이가 필요합니다.
✅ 최종 정답
① 31