📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 문제는 지수 형태로 표현된 등식 \( (\frac{2}{3})^x = (\frac{3}{4})^y = 8 \) 을 만족할 때, \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) 의 값을 구하는 것입니다. 문제의 형태를 보아 지수와 로그의 성질을 이용하여 식을 변형하고 المطلوب 값을 찾는 전략을 사용합니다.
- 식 분리: 주어진 등식을 \( (\frac{2}{3})^x = 8 \) 과 \( (\frac{3}{4})^y = 8 \) 두 부분으로 나눕니다.
- \( \frac{1}{x}, \frac{1}{y} \) 형태 유도: 각 등식의 양변에 적절한 거듭제곱 (각각 \( \frac{1}{x} \), \( \frac{1}{y} \) 제곱)을 하여 \( 8^{\frac{1}{x}} \) 와 \( 8^{\frac{1}{y}} \) 의 값을 구합니다.
- 지수 법칙 활용: \( 8^{\frac{1}{x}} \) 와 \( 8^{\frac{1}{y}} \) 를 곱하여 지수 법칙 \( a^m \times a^n = a^{m+n} \) 을 이용해 \( 8^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \) 형태를 만듭니다.
- 값 계산: \( 8^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \) 의 실제 값을 계산합니다.
- 지수/로그 변환 또는 밑 통일: 최종적으로 얻어진 등식 \( 8^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = k \) (k는 상수) 에서 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) 값을 구합니다. 이는 로그의 정의를 이용하거나, 양변의 밑을 통일하여 지수를 비교하는 방법으로 해결할 수 있습니다.
핵심 공식 및 성질:
- 지수 법칙: \( (a^m)^n = a^{mn} \), \( a^m \times a^n = a^{m+n} \), \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
- 로그의 정의: \( a^x = N \iff x = \log_a N \)
- 로그의 성질: \( \log_a (M^k) = k \log_a M \), \( \log_{a^m} N = \frac{1}{m} \log_a N \)
- 밑 변환: \( a = b^k \implies a^p = (b^k)^p = b^{kp} \)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 등식 분리
문제에서 주어진 등식은 \( (\frac{2}{3})^x = 8 \) 과 \( (\frac{3}{4})^y = 8 \) 로 나누어 생각할 수 있습니다.
$$ \left(\frac{2}{3}\right)^x = 8 \quad \cdots ① $$
$$ \left(\frac{3}{4}\right)^y = 8 \quad \cdots ② $$
Step 2: \( 8^{\frac{1}{x}} \) 값 구하기
등식 ①의 양변에 \( \frac{1}{x} \) 제곱을 합니다.
$$ \left( \left(\frac{2}{3}\right)^x \right)^{\frac{1}{x}} = 8^{\frac{1}{x}} $$
지수 법칙 \( (a^m)^n = a^{mn} \) 에 의해 좌변은 \( (\frac{2}{3})^{x \times \frac{1}{x}} = (\frac{2}{3})^1 = \frac{2}{3} \) 가 됩니다.
따라서,
$$ 8^{\frac{1}{x}} = \frac{2}{3} \quad \cdots ③ $$
Step 3: \( 8^{\frac{1}{y}} \) 값 구하기
등식 ②의 양변에 \( \frac{1}{y} \) 제곱을 합니다.
$$ \left( \left(\frac{3}{4}\right)^y \right)^{\frac{1}{y}} = 8^{\frac{1}{y}} $$
지수 법칙 \( (a^m)^n = a^{mn} \) 에 의해 좌변은 \( (\frac{3}{4})^{y \times \frac{1}{y}} = (\frac{3}{4})^1 = \frac{3}{4} \) 가 됩니다.
따라서,
$$ 8^{\frac{1}{y}} = \frac{3}{4} \quad \cdots ④ $$
Step 4: \( 8^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \) 계산하기
③식과 ④식을 변변 곱합니다.
$$ 8^{\frac{1}{x}} \times 8^{\frac{1}{y}} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} $$
좌변은 지수 법칙 \( a^m \times a^n = a^{m+n} \) 에 의해 \( 8^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \) 가 됩니다.
우변을 계산하면 \( \frac{2 \times 3}{3 \times 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \) 입니다.
따라서 다음 등식을 얻습니다.
$$ 8^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = \frac{1}{2} \quad \cdots ⑤ $$
Step 5: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) 값 구하기 (로그 이용)
등식 ⑤ \( 8^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = \frac{1}{2} \) 에서 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) 는 밑이 8이고 진수가 \( \frac{1}{2} \) 인 로그 값과 같습니다. (로그의 정의 \( a^x = N \iff x = \log_a N \) )
$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \log_8 \left( \frac{1}{2} \right) $$
로그의 밑과 진수를 2의 거듭제곱으로 표현하여 계산합니다. \( 8 = 2^3 \) 이고 \( \frac{1}{2} = 2^{-1} \) 입니다.
$$ \log_8 \left( \frac{1}{2} \right) = \log_{2^3} (2^{-1}) $$
로그의 성질 \( \log_{a^m} (b^n) = \frac{n}{m} \log_a b \) 를 이용합니다.
$$ = \frac{-1}{3} \log_2 2 $$
\( \log_2 2 = 1 \) 이므로,
$$ = \frac{-1}{3} \times 1 = -\frac{1}{3} $$
Step 5 (Alternative): \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) 값 구하기 (밑 통일)
등식 ⑤ \( 8^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = \frac{1}{2} \) 의 양변의 밑을 2로 통일합니다.
좌변: \( 8 = 2^3 \) 이므로 \( 8^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = (2^3)^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = 2^{3(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})} \).
우변: \( \frac{1}{2} = 2^{-1} \).
따라서 등식은 다음과 같이 변형됩니다.
$$ 2^{3\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)} = 2^{-1} $$
양변의 밑이 2로 같으므로 지수끼리 비교할 수 있습니다.
$$ 3\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = -1 $$
양변을 3으로 나누면 구하고자 하는 값을 얻습니다.
$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -\frac{1}{3} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 지수 방정식과 지수 법칙, 그리고 로그의 정의 및 성질을 종합적으로 활용하는 문제입니다. 핵심 아이디어는 다음과 같습니다.
- 주어진 등식 \( a^x = k \) 로부터 \( k^{\frac{1}{x}} = a \) 형태를 유도할 수 있습니다. 이는 양변에 \( \frac{1}{x} \) 제곱을 취함으로써 얻어집니다.
- 밑이 같은 거듭제곱의 곱셈은 지수의 덧셈으로 변환됩니다 (\( a^m \times a^n = a^{m+n} \)). 이 성질을 이용하여 \( k^{\frac{1}{x}} \) 와 \( k^{\frac{1}{y}} \) 를 곱함으로써 \( k^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \) 형태를 만들 수 있습니다.
- 최종적으로 얻어진 지수 방정식 \( a^p = b \) 를 풀 때, 로그의 정의 (\( p = \log_a b \))를 이용하거나, 양변의 밑을 통일하여 (\( c^q = c^r \implies q=r \)) 지수를 비교하는 방법을 사용할 수 있습니다. 이 문제에서는 밑을 2로 통일하는 것이 계산이 간편할 수 있습니다.
문제에서 구하고자 하는 값이 지수의 역수들의 합 형태(\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \))인 경우, 주어진 등식을 변형하여 밑이 같은 거듭제곱 형태로 만들고 지수 법칙을 활용하는 전략이 유효합니다.
✅ 최종 정답
계산 결과 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -\frac{1}{3} \) 입니다.
따라서 정답은 ②번입니다.