📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 부피가 \(2^{15}\)과 \(2^{12}\)인 두 금속 덩어리를 녹여서, 부피가 동일한 정육면체 72개를 만들었을 때, 새로 만든 정육면체 하나의 한 모서리 길이를 구하는 문제입니다. 문제 해결을 위해 다음 전략을 사용합니다.
- 총 부피 계산: 두 금속 덩어리의 부피를 합하여 전체 재료의 부피를 구합니다. 이 과정에서 지수 법칙(특히 공통 인수 묶기)을 활용하여 계산을 간단히 합니다.
- 개별 정육면체 부피 계산: 계산된 총 부피를 만들어진 정육면체의 개수인 72로 나누어, 정육면체 한 개의 부피를 구합니다. 이 과정에서 분수의 약분과 지수 법칙(나눗셈)을 활용합니다.
- 정육면체 모서리 길이 계산: 정육면체의 부피는 ‘(한 모서리 길이)³’ 이라는 관계를 이용합니다. 계산된 정육면체 한 개의 부피에 세제곱근을 취하여 한 모서리의 길이를 구합니다. 거듭제곱근과 지수의 관계 \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \)를 이용합니다.
핵심 공식 및 성질:
- 지수 법칙: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \), \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \), \( a^m + a^n \) 계산 시 공통 인수로 묶기 (예: \( a^n(a^{m-n} + 1) \) 단, \( m>n \))
- 정육면체 부피: \( V = l^3 \) (여기서 \(l\)은 한 모서리의 길이)
- 거듭제곱근과 지수: \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 두 금속 덩어리의 총 부피 계산
두 금속 덩어리의 부피는 각각 \(2^{15}\)과 \(2^{12}\)입니다. 이들을 녹여 합쳤으므로 총 부피는 두 부피의 합과 같습니다.
$$ \text{총 부피} = 2^{15} + 2^{12} $$
지수가 작은 \(2^{12}\)를 공통 인수로 묶어 계산을 간단히 합니다.
$$ 2^{15} + 2^{12} = 2^{12} \times 2^3 + 2^{12} \times 1 = 2^{12} (2^3 + 1) $$
\( 2^3 = 8 \) 이므로,
$$ = 2^{12} (8 + 1) = 2^{12} \times 9 $$
따라서 두 금속 덩어리의 총 부피는 \( 2^{12} \times 9 \) 입니다.
Step 2: 새로 만든 정육면체 한 개의 부피 계산
총 부피 \( 2^{12} \times 9 \) 로 부피가 같은 정육면체 72개를 만들었으므로, 정육면체 한 개의 부피는 총 부피를 72로 나눈 값입니다.
$$ \text{정육면체 한 개의 부피} = \frac{\text{총 부피}}{72} = \frac{2^{12} \times 9}{72} $$
분모 72를 소인수분해하면 \( 72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2 \). 여기서는 \( 72 = 8 \times 9 \) 로 표현하여 약분하는 것이 편리합니다.
$$ = \frac{2^{12} \times 9}{8 \times 9} $$
분자와 분모의 9를 약분합니다.
$$ = \frac{2^{12}}{8} $$
분모 8을 \( 2^3 \) 으로 바꾸어 지수 법칙 \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) 을 적용합니다.
$$ = \frac{2^{12}}{2^3} = 2^{12-3} = 2^9 $$
따라서 새로 만든 정육면체 한 개의 부피는 \( 2^9 \) 입니다.
Step 3: 정육면체 한 모서리의 길이 계산
정육면체의 한 모서리의 길이를 \( l \) 이라고 하면, 부피 \( V \) 는 \( V = l^3 \) 입니다.
Step 2에서 구한 정육면체 한 개의 부피는 \( V = 2^9 \) 이므로, 다음 관계가 성립합니다.
$$ l^3 = 2^9 $$
한 모서리의 길이 \( l \) 을 구하기 위해 양변에 세제곱근을 취합니다.
$$ l = \sqrt[3]{2^9} $$
거듭제곱근의 성질 \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \) 을 이용합니다.
$$ l = 2^{\frac{9}{3}} = 2^3 $$
\( 2^3 = 8 \) 이지만, 보기에서는 \( 2^3 \) 형태로 주어졌으므로 이 형태로 답합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 실생활과 관련된 상황(부피)을 수학적으로 모델링하고 지수 법칙과 거듭제곱근의 성질을 이용하여 해결하는 능력을 평가합니다. 주요 포인트는 다음과 같습니다.
- 총량 보존: 녹이기 전 두 금속 덩어리의 부피 합은 녹인 후 만들어진 72개 정육면체의 부피 총합과 같습니다.
- 지수 계산의 효율성: \( 2^{15} + 2^{12} \) 와 같이 밑이 같고 지수가 다른 거듭제곱의 합은 공통 인수(보통 지수가 낮은 쪽)로 묶어내면 계산이 간편해집니다.
- 정육면체 부피와 모서리 길이: 부피 \(V\) 와 모서리 길이 \(l\) 사이의 관계 \( V = l^3 \) (또는 \( l = \sqrt[3]{V} \))를 이해하고 적용해야 합니다.
- 지수와 거듭제곱근 변환: \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \) 관계를 이용하여 거듭제곱근 계산을 지수 계산으로 변환할 수 있습니다.
문제를 단계별로 나누어, 먼저 총 부피를 구하고, 개별 부피를 계산한 뒤, 마지막으로 모서리 길이를 구하는 순서로 접근하면 명확하게 해결할 수 있습니다.
✅ 최종 정답
새로 만든 정육면체의 한 모서리의 길이는 \( 2^3 \) 입니다.
따라서 정답은 ⑤번입니다.