📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 양수 \(a\)에 대한 상용로그 \(\log a\)의 값을 정수 부분 \(f(a)\)와 소수 부분 \(g(a)\)으로 나누어 정의하고, 이 정의를 바탕으로 주어진 보기들의 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
- 정의 이해: \(\log a = f(a) + g(a)\) 이며, 여기서 \(f(a)\)는 정수이고 \(0 \le g(a) < 1\) 입니다.
- \(f(a)\)는 \(\log a\)를 넘지 않는 최대 정수(가우스 기호로 \(\lfloor \log a \rfloor\))입니다.
- \(g(a)\)는 \(\log a\)에서 정수 부분을 뺀 값, 즉 \(g(a) = \log a – f(a)\) 입니다.
- 정수 부분 \(f(a)\)의 특징: 진수 \(a\)의 자릿수와 관련이 있습니다. 만약 \(a\)가 1 이상의 수일 때 \(n\)자리 정수이면 \(10^{n-1} \le a < 10^n\)이므로 \(\log 10^{n-1} \le \log a < \log 10^n\), 즉 \(n-1 \le \log a < n\) 이므로 \(f(a) = n-1\) 입니다.
- 소수 부분 \(g(a)\)의 특징: 진수 \(a\)의 숫자 배열과 관련이 있습니다. 예를 들어 \(\log 2 = 0.3010…\) 이면 \(g(2) = 0.3010…\), \(\log 20 = \log(2 \times 10) = \log 2 + \log 10 = 1 + \log 2 = 1.3010…\) 이므로 \(g(20) = 0.3010… = g(2)\) 입니다.
- 로그의 성질 활용: \(\log(ab) = \log a + \log b\) 와 같은 로그의 기본 성질을 정수/소수 부분과 연관지어 분석합니다.
- 보기 검증: 각 보기(ㄱ, ㄴ, ㄷ)를 위의 정의와 성질을 이용하여 참인지 거짓인지 단계적으로 확인합니다.
핵심 정의 및 성질:
- \(\log a = f(a) + g(a)\) (단, \(f(a)\)는 정수, \(0 \le g(a) < 1\))
- \(f(a) = \lfloor \log a \rfloor\)
- \(g(a) = \log a – f(a)\)
- 로그의 성질: \(\log(ab) = \log a + \log b\), \(\log(a/b) = \log a – \log b\), \(\log a^n = n \log a\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 보기 ㄱ 검증 ( \(f(2006) = 3\) )
\(f(2006)\)은 \(\log 2006\)의 정수 부분입니다.
진수 2006은 4자리 정수입니다. \(1 \le a\) 일 때, \(a\)가 \(n\)자리 정수이면 \(\log a\)의 정수 부분은 \(n-1\)입니다.
따라서 2006은 4자리 수이므로 \(f(2006) = 4 – 1 = 3\) 입니다.
다른 방법으로, \(1000 \le 2006 < 10000\) 이므로 각 변에 상용로그를 취하면,
$$ \log 10^3 \le \log 2006 < \log 10^4 $$
$$ 3 \le \log 2006 < 4 $$
따라서 \(\log 2006\)의 정수 부분은 3입니다. 즉, \(f(2006) = 3\) 입니다.
➡️ 보기 ㄱ은 참입니다.
Step 2: 보기 ㄴ 검증 ( \(g(2) + g(6) = g(12) + 1\) ) – 좌변 계산
\(g(a) = \log a – f(a)\) 정의를 이용합니다.
먼저 \(f(2)\)와 \(f(6)\)를 구합니다.
- \(1 \le 2 < 10\) 이므로 \(\log 1 \le \log 2 < \log 10\), 즉 \(0 \le \log 2 < 1\). 따라서 \(f(2) = 0\).
- \(1 \le 6 < 10\) 이므로 \(\log 1 \le \log 6 < \log 10\), 즉 \(0 \le \log 6 < 1\). 따라서 \(f(6) = 0\).
이제 \(g(2)\)와 \(g(6)\)를 계산합니다.
- \(g(2) = \log 2 – f(2) = \log 2 – 0 = \log 2\)
- \(g(6) = \log 6 – f(6) = \log 6 – 0 = \log 6\)
따라서 좌변은 다음과 같습니다.
$$ g(2) + g(6) = \log 2 + \log 6 $$
로그의 성질 \(\log x + \log y = \log(xy)\) 를 이용하면,
$$ = \log (2 \times 6) = \log 12 $$
Step 3: 보기 ㄴ 검증 ( \(g(2) + g(6) = g(12) + 1\) ) – 우변 계산 및 비교
우변 \(g(12) + 1\)을 계산합니다.
먼저 \(f(12)\)를 구합니다.
- \(10 \le 12 < 100\) 이므로 \(\log 10 \le \log 12 < \log 100\), 즉 \(1 \le \log 12 < 2\). 따라서 \(f(12) = 1\).
이제 \(g(12)\)를 계산합니다.
- \(g(12) = \log 12 – f(12) = \log 12 – 1\)
따라서 우변은 다음과 같습니다.
$$ g(12) + 1 = (\log 12 – 1) + 1 = \log 12 $$
Step 2에서 계산한 좌변(\(\log 12\))과 Step 3에서 계산한 우변(\(\log 12\))이 같습니다.
➡️ 보기 ㄴ은 참입니다.
Step 4: 보기 ㄷ 검증 ( \(f(ab) = f(a) + f(b)\) 이면 \(g(ab) = g(a) + g(b)\) 이다 )
로그의 정의와 성질을 이용합니다.
기본적으로 다음 관계식이 성립합니다:
- \(\log a = f(a) + g(a)\)
- \(\log b = f(b) + g(b)\)
- \(\log(ab) = f(ab) + g(ab)\)
또한 로그의 성질에 의해 \(\log(ab) = \log a + \log b\) 입니다.
위 식들을 결합하면,
$$ f(ab) + g(ab) = \log(ab) = \log a + \log b $$
$$ = (f(a) + g(a)) + (f(b) + g(b)) $$
$$ = (f(a) + f(b)) + (g(a) + g(b)) $$
즉, 다음 등식이 항상 성립합니다:
$$ f(ab) + g(ab) = (f(a) + f(b)) + (g(a) + g(b)) $$
문제의 조건은 \(f(ab) = f(a) + f(b)\) 입니다. 이 조건을 위 등식에 대입하면,
$$ (f(a) + f(b)) + g(ab) = (f(a) + f(b)) + (g(a) + g(b)) $$
양변에서 \((f(a) + f(b))\) 를 소거하면,
$$ g(ab) = g(a) + g(b) $$
따라서 주어진 조건 \(f(ab) = f(a) + f(b)\) 가 성립하면, \(g(ab) = g(a) + g(b)\) 도 반드시 성립합니다.
(참고: \(g(a)\)와 \(g(b)\)는 각각 0 이상 1 미만이므로, \(0 \le g(a)+g(b) < 2\) 입니다. 만약 \(0 \le g(a)+g(b) < 1\) 이면 \(g(ab) = g(a)+g(b)\) 이고 \(f(ab) = f(a)+f(b)\) 입니다. 만약 \(1 \le g(a)+g(b) < 2\) 이면 \(g(ab) = g(a)+g(b) - 1\) 이고 \(f(ab) = f(a)+f(b)+1\) 이 됩니다. 보기 ㄷ의 조건은 첫 번째 경우를 의미합니다.)
➡️ 보기 ㄷ은 참입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 상용로그의 정수 부분과 소수 부분의 정의를 정확히 이해하고 이를 로그의 기본 성질과 결합하여 적용하는 능력을 평가합니다.
- 핵심 정의: \(\log a = f(a) + g(a)\), 여기서 \(f(a)\)는 정수, \(0 \le g(a) < 1\).
- 정수 부분 \(f(a)\): \(\log a\) 값의 크기를 나타내며, 진수 \(a\)의 자릿수 정보를 제공합니다.
- 소수 부분 \(g(a)\): \(\log a\) 값의 소수 부분을 나타내며, 진수 \(a\)의 숫자 배열 정보를 제공합니다. \(g(a) = \log a – f(a)\).
- 로그 성질과의 관계: \(\log(ab) = \log a + \log b\)를 정수/소수 부분으로 분해하면 \(f(ab) + g(ab) = (f(a)+f(b)) + (g(a)+g(b))\)가 됩니다. 이 관계식은 ㄷ 보기와 같이 조건에 따라 정수 부분과 소수 부분의 관계를 유도하는 데 사용됩니다.
- \(g(a) + g(b)\)의 값의 범위(<1 또는 \(\ge 1\))에 따라 \(\log(ab)\)의 정수 부분과 소수 부분이 결정됩니다.
- \(0 \le g(a)+g(b) < 1\) 이면: \(f(ab)=f(a)+f(b)\) 이고 \(g(ab)=g(a)+g(b)\)
- \(1 \le g(a)+g(b) < 2\) 이면: \(f(ab)=f(a)+f(b)+1\) 이고 \(g(ab)=g(a)+g(b)-1\)
각 보기를 검증할 때는 정의와 성질을 차분히 적용하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
보기 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참입니다.
따라서 정답은 ⑤번입니다.