📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 밑이 3인 로그로 이루어진 부등식 \( \log_3 (2x + 6) – \log_3 (x – 1) \ge 1 \) 을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수를 구하는 문제입니다. 로그 부등식을 풀 때는 다음 전략을 따릅니다.
- 진수 조건 확인: 로그의 정의에 따라 로그의 진수는 항상 양수여야 합니다. 부등식을 풀기 전에 각 로그 항의 진수 조건을 확인하여 \(x\)의 기본 범위를 설정합니다.
- 로그 성질 이용 및 부등식 변형: 로그의 뺄셈 성질 (\( \log_a M – \log_a N = \log_a \frac{M}{N} \))을 이용하여 부등식의 좌변을 하나의 로그 항으로 합칩니다. 우변의 상수도 밑이 같은 로그로 변환합니다 (\( k = \log_a a^k \)).
- 진수 비교: 로그 부등식 \( \log_a f(x) \ge \log_a g(x) \) 형태에서 진수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)의 대소 관계를 비교합니다.
- 밑 \(a > 1\) 이면 부등호 방향이 그대로 유지됩니다: \( f(x) \ge g(x) \)
- 밑 \(0 < a < 1\) 이면 부등호 방향이 반대로 바뀝니다: \( f(x) \le g(x) \)
- 부등식 풀이: 진수끼리 비교하여 얻어진 \(x\)에 대한 부등식을 풉니다. (분수 부등식 형태가 나올 경우, 양변에 분모를 곱할 때 분모의 부호에 주의해야 합니다. 진수 조건을 통해 부호를 미리 알 수 있는 경우가 많습니다.)
- 공통 범위 확인 및 정수 개수 계산: 진수 조건에서 구한 \(x\)의 범위와 부등식 풀이에서 얻은 \(x\)의 범위의 공통 부분을 찾습니다. 이 공통 범위에 속하는 정수의 개수를 셉니다.
핵심 공식 및 성질:
- 로그의 진수 조건: \( \log_a M \) 에서 \( M > 0 \)
- 로그의 성질: \( \log_a M – \log_a N = \log_a \frac{M}{N} \)
- 로그 부등식: 밑 \(a > 1\) 일 때, \( \log_a f(x) \ge \log_a g(x) \iff f(x) \ge g(x) \)
- 정수 개수: \(m < x \le n\) (m, n은 정수) 를 만족하는 정수 x의 개수는 \(n-m\) 개. \(m \le x \le n\) 이면 \(n-m+1\) 개.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 진수 조건 확인
로그의 진수는 항상 양수여야 하므로, 다음 두 조건이 동시에 만족되어야 합니다.
1) \( 2x + 6 > 0 \)
$$ 2x > -6 \implies x > -3 $$
2) \( x – 1 > 0 \)
$$ x > 1 $$
두 조건을 동시에 만족하는 \(x\)의 범위는 \(x > 1\) 입니다. 이것이 이 부등식의 정의역(정의되는 범위)입니다.
$$ x > 1 \quad \cdots ① $$
Step 2: 로그 부등식 변형
주어진 부등식은 \( \log_3 (2x + 6) – \log_3 (x – 1) \ge 1 \) 입니다.
로그의 뺄셈 성질을 이용하여 좌변을 하나의 로그로 합칩니다.
$$ \log_3 \left( \frac{2x + 6}{x – 1} \right) \ge 1 $$
우변의 1을 밑이 3인 로그로 변환합니다: \( 1 = \log_3 3 \).
$$ \log_3 \left( \frac{2x + 6}{x – 1} \right) \ge \log_3 3 $$
Step 3: 진수 비교 및 부등식 풀이
로그의 밑이 3이고, \(3 > 1\) 이므로 부등호 방향은 그대로 유지됩니다. 따라서 진수끼리 비교합니다.
$$ \frac{2x + 6}{x – 1} \ge 3 $$
Step 1의 진수 조건에서 \(x > 1\) 이므로 \(x – 1 > 0\) 입니다. 따라서 양변에 \(x – 1\)을 곱해도 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ 2x + 6 \ge 3(x – 1) $$
괄호를 풀고 \(x\)에 대해 정리합니다.
$$ 2x + 6 \ge 3x – 3 $$
$$ 6 + 3 \ge 3x – 2x $$
$$ 9 \ge x \quad \text{즉,} \quad x \le 9 \quad \cdots ② $$
Step 4: 공통 범위 및 정수 개수 계산
로그 부등식의 해는 진수 조건(①)과 부등식 풀이 결과(②)를 동시에 만족해야 합니다.
①: \( x > 1 \)
②: \( x \le 9 \)
두 범위의 공통 부분은 다음과 같습니다.
$$ 1 < x \le 9 $$
이 범위를 만족시키는 정수 \(x\)는 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 입니다.
정수의 개수는 \( 9 – 2 + 1 = 8 \) 개 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
로그 부등식을 풀 때 가장 중요한 것은 진수 조건을 빠뜨리지 않는 것입니다. 문제 풀이 순서는 다음과 같습니다.
- 각 로그 항의 진수가 양수(\(>0\))가 되는 \(x\)의 범위를 먼저 구합니다. 이것이 해의 기본 전제 조건입니다.
- 로그의 성질을 이용하여 부등식을 \( \log_a f(x) \ge \log_a g(x) \) (또는 다른 부등호) 형태로 변형합니다.
- 밑 \(a\)의 범위에 따라 진수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)의 대소 관계를 비교합니다. (\(a>1\)이면 방향 유지, \(0
- 진수 비교로 얻어진 \(x\)에 대한 부등식을 풉니다.
- 1에서 구한 진수 조건 범위와 4에서 구한 해의 범위의 공통 범위를 찾습니다. 이것이 최종 해의 범위입니다.
- 문제에서 요구하는 것(정수 개수 등)을 최종 해의 범위 내에서 구합니다.
특히 분수 부등식 \( \frac{f(x)}{g(x)} \ge k \) 등을 풀 때, 양변에 \(g(x)\)를 곱하려면 \(g(x)\)의 부호를 알아야 합니다. 로그 부등식에서는 진수 조건(\(g(x)>0\))을 통해 이 부호를 미리 알 수 있는 경우가 많아 계산이 수월해집니다.
✅ 최종 정답
부등식 \( 1 < x \le 9 \) 를 만족시키는 정수 \(x\)는 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 로 총 8개입니다.
따라서 정답은 ③번입니다.