고3- 모의고사 - 1060485 -8번

함수 교점 및 지수 방정식 문제 풀이

이 문제는 두 함수 $y = a^x$ (지수 함수, 단 $a > 1$)와 $y = -x + 27$ (직선)의 그래프가 만나는 교점의 $x$좌표가 2일 때, 지수 함수의 밑 $a$의 값을 찾는 문제입니다. 핵심 전략은 다음과 같습니다.

교점의 의미 활용: 두 함수의 그래프의 교점은 두 함수의 방정식을 동시에 만족시키는 점입니다. 즉, 교점의 좌표 $(x_0, y_0)$는 $y_0 = a^{x_0}$ 와 $y_0 = -x_0 + 27$ 을 모두 만족합니다.
교점의 좌표 구하기: 교점의 $x$좌표가 2로 주어졌으므로, 이 값을 직선의 방정식 $y = -x + 27$에 대입하여 교점의 $y$좌표를 구합니다.
지수 함수에 대입: 찾은 교점의 좌표($(2, y_0)$)는 지수 함수 $y = a^x$ 위의 점이기도 하므로, 이 좌표를 $y = a^x$에 대입하여 $a$에 대한 방정식을 세웁니다.
$a$ 값 계산 및 조건 확인: 세워진 방정식($y_0 = a^2$)을 풀어 $a$의 값을 구하고, 문제에서 주어진 조건 $a > 1$을 만족하는지 확인하여 최종 답을 결정합니다.

핵심 개념:

함수의 교점: 두 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 교점 $(x_0, y_0)$는 $y_0=f(x_0)$와 $y_0=g(x_0)$를 모두 만족합니다.
지수 방정식: $a^x = b$ 형태의 방정식 풀이.

Step 1: 교점의 $y$좌표 구하기

두 함수 $y = a^x$ 와 $y = -x + 27$ 의 교점의 $x$좌표가 2라고 주어졌습니다.

교점은 직선 $y = -x + 27$ 위의 점이기도 하므로, $x = 2$를 직선의 방정식에 대입하여 교점의 $y$좌표를 구합니다.

$$ y = – (2) + 27 $$

$$ y = 25 $$

따라서 두 함수의 교점의 좌표는 $(2, 25)$ 입니다.

Step 2: 교점 좌표를 지수 함수에 대입하기

교점 $(2, 25)$는 지수 함수 $y = a^x$ 위의 점이기도 합니다. 따라서 $x = 2$, $y = 25$를 지수 함수 식에 대입합니다.

$$ 25 = a^2 $$

Step 3: $a$ 값 계산 및 조건 확인

방정식 $a^2 = 25$ 를 $a$에 대해 풉니다.

제곱해서 25가 되는 수는 5와 -5입니다.

$$ a = 5 \quad \text{또는} \quad a = -5 $$

문제에서 주어진 조건은 $a > 1$ 입니다. 이 조건을 만족하는 $a$ 값은 5입니다.

$$ a = 5 $$

이 문제는 서로 다른 종류의 함수(지수 함수와 일차 함수)의 교점 개념을 이해하고 활용하는 문제입니다.

교점의 중요성: 두 함수의 그래프가 만나는 교점은 두 함수의 관계를 나타내는 중요한 지점입니다. 교점의 좌표는 두 함수의 방정식에 모두 대입했을 때 성립합니다.
정보 활용: 문제에서 주어진 교점의 $x$좌표 정보를 이용하여, 먼저 방정식을 풀기 쉬운 함수(이 문제에서는 직선)에 대입하여 교점의 완전한 좌표($x, y$)를 구하는 것이 효율적입니다.
미지수 구하기: 완전한 교점 좌표를 다른 함수(이 문제에서는 지수 함수)에 대입하면, 해당 함수에 포함된 미지수(이 문제에서는 밑 $a$)에 대한 방정식을 얻을 수 있습니다.
조건 확인: 지수 함수의 밑 $a$는 항상 $a>0, a \ne 1$ 조건을 만족해야 하며, 문제에서 추가로 $a>1$ 조건이 주어졌으므로 계산 결과가 이 조건을 만족하는지 반드시 확인해야 합니다.

함수의 교점 문제는 다양한 함수 유형에서 출제될 수 있으며, 교점의 정의를 정확히 이해하고 대입을 통해 연립방정식을 푸는 방식으로 해결할 수 있습니다.

계산 결과 $a = 5$ 이고, 이는 조건 $a > 1$을 만족합니다.

따라서 정답은 ④번입니다.

고3- 모의고사 – 1060485 -8번