고3- 모의고사 - 1060485 -9번

로그 함수 점근선과 지수 함수 교점 문제 풀이

이 문제는 로그 함수 $y = \log_2 (x – 3)$ 의 점근선이 지수 함수 $y = 2^{x+1}$ 의 그래프와 만나는 점의 $y$좌표를 구하는 문제입니다. 풀이 전략은 다음과 같습니다.

로그 함수의 점근선 찾기: 로그 함수 $y = \log_a (x – p) + q$ 의 점근선은 진수가 0이 되게 하는 $x$ 값, 즉 $x – p = 0$ 에서 $x = p$ 라는 것을 이용합니다.
점근선의 방정식 구하기: 주어진 로그 함수 $y = \log_2 (x – 3)$ 의 점근선의 방정식을 구합니다.
교점의 $x$좌표 확인: 점근선은 $x = k$ 형태의 수직선이므로, 이 점근선과 다른 곡선이 만나는 점의 $x$좌표는 $k$ 가 됩니다.
$y$좌표 계산: 교점의 $x$좌표를 지수 함수 $y = 2^{x+1}$ 에 대입하여 교점의 $y$좌표를 계산합니다.

핵심 개념:

Step 1: 로그 함수 $y = \log_2 (x – 3)$ 의 점근선 구하기

로그 함수 $y = \log_a (\text{진수})$ 에서 점근선은 진수가 0이 되는 지점에서 발생합니다.

주어진 함수는 $y = \log_2 (x – 3)$ 입니다. 진수는 $x – 3$ 입니다.

진수가 0이 되는 방정식은 $x – 3 = 0$ 입니다.

따라서 이 로그 함수의 점근선의 방정식은 다음과 같습니다.

$$ x = 3 $$

(참고: 로그 함수의 정의역은 진수 > 0 이므로 $x – 3 > 0$, 즉 $x > 3$ 입니다. 그래프는 $x=3$ 오른쪽에 존재하며 $x=3$ 에 한없이 가까워집니다.)

Step 2: 점근선과 지수 함수 $y = 2^{x+1}$ 의 교점 찾기

점근선 $x = 3$ 과 곡선 $y = 2^{x+1}$ 이 만나는 점을 찾아야 합니다.

교점은 두 방정식을 모두 만족해야 하므로, 교점의 $x$좌표는 점근선의 방정식에 따라 $x = 3$ 입니다.

Step 3: 교점의 $y$좌표 계산하기

교점의 $y$좌표를 구하기 위해, 교점의 $x$좌표인 $x = 3$ 을 지수 함수 $y = 2^{x+1}$ 에 대입합니다.

$$ y = 2^{(3) + 1} $$

$$ y = 2^4 $$

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ 입니다.

$$ y = 16 $$

따라서 점근선 $x = 3$ 과 곡선 $y = 2^{x+1}$ 이 만나는 점의 좌표는 $(3, 16)$ 이고, 이 점의 $y$좌표는 16입니다.

이 문제는 로그 함수의 점근선에 대한 이해와 두 그래프의 교점 개념을 결합한 문제입니다.

로그 함수의 점근선: 함수 $y = \log_a (x-p) + q$ 의 그래프는 직선 $x = p$ 에 한없이 가까워지지만 만나지는 않습니다. 이 직선 $x=p$를 점근선이라고 하며, 진수 $x-p$ 가 0이 되는 $x$ 값으로 찾습니다.
점근선과 다른 그래프의 교점: 로그 함수의 점근선은 $x = k$ 형태의 수직선입니다. 이 수직선과 다른 함수 $y = f(x)$의 교점은 $x$좌표가 $k$ 이고 $y$좌표가 $f(k)$ 인 점, 즉 $(k, f(k))$ 입니다.
함숫값 계산: 교점의 $y$좌표를 구하는 것은 결국 특정 $x$값에 대한 함숫값을 계산하는 과정입니다.

로그 함수의 그래프적 특징(특히 점근선)과 기본적인 함수값 계산 능력을 평가하는 문제입니다.

로그 함수 $y = \log_2 (x – 3)$ 의 점근선 $x = 3$ 과 지수 함수 $y = 2^{x+1}$ 이 만나는 점의 $y$좌표는 $2^{3+1} = 2^4 = 16$ 입니다.

따라서 정답은 ②번입니다.

고3- 모의고사 – 1060485 -9번