📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 제곱근의 정의와 관련된 여러 표현들을 정확히 이해하고, 각 표현이 나타내는 값을 계산하여 다른 값을 갖는 보기를 찾는 문제입니다. 특히 ‘제곱근 A’ 와 ‘A의 제곱근’의 차이를 명확히 구분하는 것이 중요합니다.
- ‘제곱근 A’ (또는 \(\sqrt{A}\)): A의 양의 제곱근을 의미합니다. 예를 들어 ‘제곱근 9’는 \(\sqrt{9} = 3\) 입니다.
- ‘A의 제곱근’: 제곱해서 A가 되는 모든 수를 의미합니다. A > 0 일 때, 양의 제곱근(\(\sqrt{A}\))과 음의 제곱근(\(-\sqrt{A}\)) 두 개가 존재합니다. 예를 들어 ‘9의 제곱근’은 \(\pm 3\) 입니다.
- 단계별 접근: 각 보기의 표현을 수학적으로 해석하여 그 값을 정확히 계산합니다.
- 값 비교: 계산된 값들을 비교하여 다른 값을 가지는 보기를 찾습니다.
핵심 개념: 제곱근 표현의 차이
- \( \sqrt{A} \) : A의 양의 제곱근 (읽기: 제곱근 A, 루트 A)
- A의 제곱근 : 제곱하여 A가 되는 수 ( \( \pm \sqrt{A} \) )
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 보기 ① 값 계산
보기 ①은 “\(\sqrt{81}\)의 양의 제곱근” 입니다.
먼저 \(\sqrt{81}\) 값을 계산합니다. 81은 9의 제곱이므로, \(\sqrt{81} = 9\) 입니다.
따라서 보기 ①은 “9의 양의 제곱근”을 의미합니다.
9의 양의 제곱근은 \(\sqrt{9}\) 이고, 그 값은 3입니다.
$$ \text{보기 ①의 값} = 3 $$
Step 2: 보기 ② 값 계산
보기 ②는 “제곱근 9” 입니다.
이는 9의 양의 제곱근 \(\sqrt{9}\) 를 의미합니다.
$$ \text{보기 ②의 값} = \sqrt{9} = 3 $$
Step 3: 보기 ③ 값 계산
보기 ③은 “9의 제곱근” 입니다.
이는 제곱해서 9가 되는 모든 수를 의미합니다.
제곱해서 9가 되는 수는 3과 -3 두 개가 있습니다.
$$ \text{보기 ③의 값} = \pm 3 $$
Step 4: 보기 ④ 값 계산
보기 ④는 “제곱하여 9가 되는 자연수” 입니다.
제곱하여 9가 되는 수는 \(\pm 3\) 입니다.
이 중에서 자연수(양의 정수)는 3입니다.
$$ \text{보기 ④의 값} = 3 $$
Step 5: 보기 ⑤ 값 계산
보기 ⑤는 “\(x^2 = 9\)를 만족시키는 \(x\)의 절댓값” 입니다.
\(x^2 = 9\)를 만족시키는 \(x\)는 \(x = 3\) 또는 \(x = -3\) 입니다.
이 \(x\) 값들의 절댓값을 구합니다.
- \(|3| = 3\)
- \(|-3| = 3\)
따라서 \(x^2 = 9\)를 만족시키는 \(x\)의 절댓값은 3입니다.
$$ \text{보기 ⑤의 값} = 3 $$
Step 6: 값 비교 및 결론
각 보기의 값을 비교합니다.
- 보기 ①: 3
- 보기 ②: 3
- 보기 ③: ±3
- 보기 ④: 3
- 보기 ⑤: 3
보기 ①, ②, ④, ⑤의 값은 모두 3으로 동일하지만, 보기 ③의 값은 \(\pm 3\) 으로 두 개의 값을 나타냅니다.
따라서 값이 나머지 넷과 다른 하나는 보기 ③입니다.
🧠 마무리 개념 정리
제곱근과 관련된 문제를 풀 때는 용어의 정의를 정확히 이해하는 것이 매우 중요합니다.
- ‘제곱근 A’ (\(\sqrt{A}\)): A의 양의 제곱근만을 의미합니다. (The principal square root)
- ‘A의 제곱근’: 제곱하면 A가 되는 모든 수를 의미하며, A>0일 경우 양수(\(\sqrt{A}\))와 음수(\(-\sqrt{A}\)) 두 개가 있습니다.
- 절댓값: 수직선 상에서 원점으로부터의 거리를 의미하며, 항상 0 이상입니다. \(|a|\) 와 \(|-a|\) 는 같습니다.
- 자연수: 1, 2, 3, … 과 같은 양의 정수를 의미합니다.
각 보기의 표현을 수학 기호로 정확히 번역하고 그 의미에 따라 값을 계산해야 혼동을 피할 수 있습니다.
✅ 최종 정답
보기 ①, ②, ④, ⑤는 모두 값 3을 나타내지만, 보기 ③은 \(\pm 3\)을 나타내므로 값이 다릅니다.
따라서 정답은 ③번입니다.