📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 넓이가 각각 9 cm²와 16 cm²인 두 정사각형 ABCD와 ECGF를 그림과 같이 이어 붙였을 때, 대각선 BF의 길이를 구하는 문제입니다. 점 B, C, G는 한 직선 위에 있습니다. 풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 정사각형 변의 길이 계산: 각 정사각형의 넓이를 이용하여 한 변의 길이를 구합니다. (한 변의 길이 = \(\sqrt{\text{넓이}}\))
- 필요한 길이 계산: 선분 BF를 빗변으로 하는 직각삼각형을 찾고, 그 직각삼각형의 두 변(직각을 낀 변)의 길이를 구합니다. 이 경우, 직각삼각형 BGF를 생각할 수 있습니다.
- 변 BG의 길이: 두 정사각형의 변의 길이(BC와 CG)를 더하여 구합니다.
- 변 FG의 길이: 정사각형 ECGF의 한 변의 길이와 같습니다.
- 피타고라스 정리 적용: 직각삼각형 BGF에 피타고라스 정리를 적용하여 빗변 BF의 길이를 계산합니다.
핵심 공식 및 개념:
- 정사각형 넓이 \(S = l^2\) (여기서 \(l\)은 한 변의 길이)
- 정사각형 한 변의 길이 \(l = \sqrt{S}\)
- 피타고라스 정리: 직각삼각형에서 \( (\text{빗변})^2 = (\text{밑변})^2 + (\text{높이})^2 \)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 정사각형 ABCD의 한 변의 길이 계산
정사각형 ABCD의 넓이가 9 cm² 이므로, 한 변의 길이는 넓이의 양의 제곱근입니다.
$$ \overline{BC} = \sqrt{9} = 3 \, (\text{cm}) $$
(변 AB, CD, DA의 길이도 3 cm 입니다.)
Step 2: 정사각형 ECGF의 한 변의 길이 계산
정사각형 ECGF의 넓이가 16 cm² 이므로, 한 변의 길이는 넓이의 양의 제곱근입니다.
$$ \overline{CG} = \sqrt{16} = 4 \, (\text{cm}) $$
변 FG의 길이도 정사각형의 한 변이므로 같습니다.
$$ \overline{FG} = 4 \, (\text{cm}) $$
(변 EC, FE의 길이도 4 cm 입니다.)
Step 3: 직각삼각형 BGF의 밑변 BG의 길이 계산
점 B, C, G는 한 직선 위에 있으므로, 선분 BG의 길이는 선분 BC와 선분 CG의 길이의 합과 같습니다.
$$ \overline{BG} = \overline{BC} + \overline{CG} = 3 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm} = 7 \, \text{cm} $$
Step 4: 직각삼각형 BGF에 피타고라스 정리 적용
삼각형 BGF에서 각 BGF는 90°인 직각삼각형입니다. (선분 BG는 수평이고 선분 FG는 수직이므로)
이 직각삼각형의 빗변은 BF, 밑변은 BG, 높이는 FG입니다.
피타고라스 정리에 따라 \( \overline{BF}^2 = \overline{BG}^2 + \overline{FG}^2 \) 입니다.
Step 2와 Step 3에서 구한 값을 대입합니다.
$$ \overline{BF}^2 = (7)^2 + (4)^2 $$
$$ \overline{BF}^2 = 49 + 16 $$
$$ \overline{BF}^2 = 65 $$
Step 5: 선분 BF의 길이 계산
\( \overline{BF}^2 = 65 \) 이므로, 선분 BF의 길이는 65의 양의 제곱근입니다 (길이는 양수이므로).
$$ \overline{BF} = \sqrt{65} \, (\text{cm}) $$
(65는 제곱수가 아니므로 근호 밖으로 간단히 할 수 없습니다.)
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 도형 문제에서 넓이 정보를 이용하여 길이를 구하고, 그 길이를 바탕으로 피타고라스 정리를 적용하는 복합적인 문제입니다.
- 넓이와 길이의 관계: 정사각형의 넓이는 한 변의 길이를 제곱한 값이므로, 넓이를 알면 제곱근을 통해 한 변의 길이를 구할 수 있습니다.
- 좌표 또는 도형 분할: 복잡한 도형에서 원하는 길이를 구하기 위해, 해당 길이를 포함하는 적절한 직각삼각형을 찾아내는 것이 중요합니다. 때로는 보조선을 긋거나 좌표평면을 도입하여 생각할 수도 있습니다. 이 문제에서는 자연스럽게 직각삼각형 BGF를 찾을 수 있습니다.
- 피타고라스 정리의 활용: 직각삼각형의 세 변 중 두 변의 길이를 알 때 나머지 한 변의 길이를 구하는 가장 기본적인 도구입니다.
주어진 정보를 이용하여 필요한 길이를 차례대로 구하고, 최종적으로 피타고라스 정리를 적용하여 답을 찾는 단계적인 문제 해결 능력이 필요합니다.
✅ 최종 정답
선분 BF의 길이는 \( \sqrt{65} \, \text{cm} \) 입니다.