📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 보기들 중에서, 그 수의 제곱근을 구할 때 근호(\(\sqrt{\phantom{x}}\))를 사용하지 않고는 나타낼 수 없는 것을 고르는 문제입니다. 즉, 어떤 수 A의 제곱근 \(\pm\sqrt{A}\)를 계산했을 때, 그 결과가 유리수(정수 또는 분수)가 되지 않고 무리수(근호가 반드시 필요한 수)가 되는 경우를 찾는 것입니다.
핵심 전략은 다음과 같습니다:
- 각 보기의 값 계산: 먼저 각 보기가 나타내는 수를 정확히 계산합니다. 보기 자체에 루트가 있는 경우 그 값을 먼저 계산합니다. 순환소수는 분수로 변환합니다.
- 해당 수의 제곱근 구하기: 각 보기에서 계산된 수(이 수를 \(A\)라고 하자)의 제곱근(\(\pm\sqrt{A}\))을 생각합니다.
- 근호 없이 표현 가능한지 판별: 수 \(A\)가 어떤 유리수(정수 또는 분수)의 제곱 형태(즉, \(A = (\text{유리수})^2\))이면, 그 제곱근 \(\pm\sqrt{A}\)는 \(\pm(\text{유리수})\)가 되어 근호 없이 나타낼 수 있습니다. 만약 \(A\)가 유리수의 제곱 형태가 아니라면, 그 제곱근은 무리수가 되어 근호를 사용해야만 나타낼 수 있습니다.
- 정답 선택: 제곱근이 무리수가 되어 근호를 반드시 사용해야 하는 보기를 모두 선택합니다. (정답 2개)
핵심 개념:
- A의 제곱근: 제곱해서 A가 되는 수 (\(\pm\sqrt{A}\)).
- 근호 없이 나타낼 수 있는 제곱근: 어떤 수 A가 유리수 B의 제곱(\(A=B^2\))일 때, A의 제곱근은 \(\pm B\) (유리수)가 됩니다.
- 근호 없이 나타낼 수 없는 제곱근: 어떤 수 A가 유리수의 제곱 형태가 아닐 때, A의 제곱근 \(\pm\sqrt{A}\)는 무리수가 됩니다.
- 순환소수 변환: \( a.b\dot{c} = \frac{abc-ab}{90} \), \( a.\dot{b} = \frac{ab-a}{9} \) 등
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 보기 ① 분석
보기 ①은 \(\sqrt{16}\)입니다.
먼저 이 값을 계산하면 \(\sqrt{16} = 4\) 입니다.
이제 문제에서 묻는 것은 “4의 제곱근”입니다.
4의 제곱근은 제곱해서 4가 되는 수로, \(\pm\sqrt{4} = \pm 2\) 입니다.
\(\pm 2\)는 근호 없이 나타낼 수 있습니다.
➡️ 보기 ①은 근호 없이 제곱근 표현 가능.
Step 2: 보기 ② 분석
보기 ②는 \(3.\dot{6}\)입니다.
먼저 순환소수를 분수로 변환합니다: \(3.\dot{6} = \frac{36-3}{9} = \frac{33}{9} = \frac{11}{3}\).
문제에서 묻는 것은 “\(\frac{11}{3}\)의 제곱근”입니다.
\(\frac{11}{3}\)의 제곱근은 \(\pm\sqrt{\frac{11}{3}}\) 입니다.
11과 3은 제곱수가 아니므로, \(\pm\sqrt{\frac{11}{3}}\)은 근호 없이 나타낼 수 없습니다.
➡️ 보기 ②는 근호 없이 제곱근 표현 불가능.
Step 3: 보기 ③ 분석
보기 ③은 \(\frac{49}{64}\)입니다.
문제에서 묻는 것은 “\(\frac{49}{64}\)의 제곱근”입니다.
\(\frac{49}{64}\)의 제곱근은 \(\pm\sqrt{\frac{49}{64}}\) 입니다.
\(49 = 7^2\) 이고 \(64 = 8^2\) 이므로, \( \sqrt{\frac{49}{64}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}} = \frac{7}{8} \) 입니다.
따라서 제곱근은 \(\pm \frac{7}{8}\) 이고, 근호 없이 나타낼 수 있습니다.
➡️ 보기 ③은 근호 없이 제곱근 표현 가능.
Step 4: 보기 ④ 분석
보기 ④는 \(\frac{361}{25}\)입니다.
문제에서 묻는 것은 “\(\frac{361}{25}\)의 제곱근”입니다.
\(\frac{361}{25}\)의 제곱근은 \(\pm\sqrt{\frac{361}{25}}\) 입니다.
\(361 = 19^2\) 이고 \(25 = 5^2\) 이므로, \( \sqrt{\frac{361}{25}} = \frac{\sqrt{361}}{\sqrt{25}} = \frac{19}{5} \) 입니다.
따라서 제곱근은 \(\pm \frac{19}{5}\) 이고, 근호 없이 나타낼 수 있습니다.
➡️ 보기 ④는 근호 없이 제곱근 표현 가능.
Step 5: 보기 ⑤ 분석
보기 ⑤는 \(\sqrt{0.64}\)입니다.
먼저 이 값을 계산합니다: \(\sqrt{0.64} = \sqrt{\frac{64}{100}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{100}} = \frac{8}{10} = 0.8 = \frac{4}{5}\).
이제 문제에서 묻는 것은 “0.8 (또는 \(\frac{4}{5}\))의 제곱근”입니다.
0.8의 제곱근은 \(\pm\sqrt{0.8} = \pm\sqrt{\frac{8}{10}} = \pm\sqrt{\frac{4}{5}}\) 입니다.
\( \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \). 이는 근호 없이 나타낼 수 없습니다.
➡️ 보기 ⑤는 근호 없이 제곱근 표현 불가능.
Step 6: 결론
각 보기의 값을 계산하고 그 수의 제곱근을 구했을 때, 근호를 사용해야만 나타낼 수 있는 경우는 다음과 같습니다.
- 보기 ②: \(3.\dot{6} = \frac{11}{3}\)의 제곱근은 \(\pm\sqrt{\frac{11}{3}}\).
- 보기 ⑤: \(\sqrt{0.64} = 0.8 = \frac{4}{5}\)의 제곱근은 \(\pm\sqrt{\frac{4}{5}}\).
따라서 제곱근을 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 없는 것은 ②, ⑤ 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 제곱근의 정의와 유리수/무리수 개념을 정확히 이해하는 것이 중요합니다.
- 핵심 질문 파악: 문제는 주어진 보기 *자체*가 근호 없이 표현되는지를 묻는 것이 아니라, 주어진 보기가 나타내는 수의 *제곱근*이 근호 없이 표현되는지를 묻고 있습니다. 이 차이를 명확히 인지해야 합니다.
- 제곱수 판별: 어떤 수 A가 유리수(정수 또는 분수)의 제곱으로 표현될 수 있는지 판단하는 것이 핵심입니다. 분수의 경우 분자와 분모가 각각 완전제곱수인지 확인합니다.
- 순환소수 처리: 순환소수는 항상 유리수(분수)로 변환하여 제곱근을 판단해야 합니다.
각 단계에서 ‘어떤 수의 제곱근’을 구하는 것인지 명확히 하고, 그 수가 유리수의 제곱인지 아닌지 판별하는 과정을 거치면 정답을 찾을 수 있습니다.
✅ 최종 정답
제곱근을 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 없는 것은 ② (\(3.\dot{6}\)) 와 ⑤ (\(\sqrt{0.64}\)) 입니다.
따라서 정답은 ②, ⑤ 입니다.