📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 5개의 제곱근 관련 계산식 중에서 계산 결과가 옳지 않은 것을 찾는 문제입니다. 각 보기를 정확하게 계산하기 위해 제곱근의 성질을 올바르게 적용해야 합니다.
- 각 보기 계산: 주어진 5개의 계산식을 하나씩 차례대로 계산합니다.
- 제곱근 성질 적용: 계산 과정에서 다음 성질들을 정확히 활용합니다.
- \( (\sqrt{a})^2 = a \) (단, \(a \ge 0\))
- \( \sqrt{a^2} = |a| \) (결과는 항상 0 이상)
- \( (-\sqrt{a})^2 = (\sqrt{a})^2 = a \) (단, \(a \ge 0\))
- \( \sqrt{(-a)^2} = |-a| = |a| \)
- 계산 순서 준수: 곱셈, 나눗셈을 덧셈, 뺄셈보다 먼저 계산하는 사칙연산의 순서를 지킵니다.
- 결과 확인: 각 보기의 계산 결과가 제시된 값과 일치하는지 확인하여 옳지 않은 보기를 찾습니다.
핵심 공식 및 성질:
- \( (\sqrt{a})^2 = a \) (단, \(a \ge 0\))
- \( \sqrt{a^2} = |a| = \begin{cases} a & (a \ge 0) \\ -a & (a < 0) \end{cases} \)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 보기 ① 계산 및 확인
보기 ①: \( (\sqrt{7})^2 + (-\sqrt{3})^2 = 4 \)
좌변을 계산합니다:
- \( (\sqrt{7})^2 = 7 \)
- \( (-\sqrt{3})^2 = (-\sqrt{3}) \times (-\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^2 = 3 \)
$$ (\sqrt{7})^2 + (-\sqrt{3})^2 = 7 + 3 = 10 $$
계산 결과는 10인데, 보기에는 4라고 되어 있습니다.
➡️ 보기 ①은 옳지 않습니다.
Step 2: 보기 ② 계산 및 확인
보기 ②: \( (-\sqrt{12})^2 \times \sqrt{(-3)^2} – \sqrt{121} = 25 \)
좌변을 계산합니다:
- \( (-\sqrt{12})^2 = 12 \)
- \( \sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3 \)
- \( \sqrt{121} = \sqrt{11^2} = 11 \)
$$ (-\sqrt{12})^2 \times \sqrt{(-3)^2} – \sqrt{121} = 12 \times 3 – 11 = 36 – 11 = 25 $$
계산 결과는 25로, 보기의 값과 일치합니다.
➡️ 보기 ②는 옳습니다.
Step 3: 보기 ③ 계산 및 확인
보기 ③: \( \sqrt{(-5)^2} \div \sqrt{(\frac{1}{2})^2} + \sqrt{8^2} = 18 \)
좌변을 계산합니다:
- \( \sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5 \)
- \( \sqrt{(\frac{1}{2})^2} = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} \)
- \( \sqrt{8^2} = |8| = 8 \)
$$ \sqrt{(-5)^2} \div \sqrt{(\frac{1}{2})^2} + \sqrt{8^2} = 5 \div \frac{1}{2} + 8 = 5 \times 2 + 8 = 10 + 8 = 18 $$
계산 결과는 18로, 보기의 값과 일치합니다.
➡️ 보기 ③은 옳습니다.
Step 4: 보기 ④ 계산 및 확인
보기 ④: \( \sqrt{(-\frac{8}{3})^2} \times \sqrt{(\frac{9}{4})^2} \times (-\sqrt{4})^2 = 24 \)
좌변을 계산합니다:
- \( \sqrt{(-\frac{8}{3})^2} = |-\frac{8}{3}| = \frac{8}{3} \)
- \( \sqrt{(\frac{9}{4})^2} = |\frac{9}{4}| = \frac{9}{4} \)
- \( (-\sqrt{4})^2 = (\sqrt{4})^2 = 4 \)
$$ \sqrt{(-\frac{8}{3})^2} \times \sqrt{(\frac{9}{4})^2} \times (-\sqrt{4})^2 = \frac{8}{3} \times \frac{9}{4} \times 4 = \frac{8 \times 9 \times 4}{3 \times 4} = 8 \times 3 = 24 $$
계산 결과는 24로, 보기의 값과 일치합니다.
➡️ 보기 ④는 옳습니다.
Step 5: 보기 ⑤ 계산 및 확인
보기 ⑤: \( \sqrt{(-6)^2} – \sqrt{0.49} \times \sqrt{(-10)^2} = -1 \)
좌변을 계산합니다:
- \( \sqrt{(-6)^2} = |-6| = 6 \)
- \( \sqrt{0.49} = \sqrt{(0.7)^2} = |0.7| = 0.7 \)
- \( \sqrt{(-10)^2} = |-10| = 10 \)
$$ \sqrt{(-6)^2} – \sqrt{0.49} \times \sqrt{(-10)^2} = 6 – 0.7 \times 10 = 6 – 7 = -1 $$
계산 결과는 -1로, 보기의 값과 일치합니다.
➡️ 보기 ⑤는 옳습니다.
🧠 마무리 개념 정리
제곱근의 계산에서 실수를 줄이려면 다음 성질들을 명확히 구분하여 적용해야 합니다.
- 제곱이 근호 밖: \( (\sqrt{a})^2 \) 또는 \( (-\sqrt{a})^2 \) 형태는 결과가 \(a\) (단, \(a \ge 0\))가 됩니다.
- 제곱이 근호 안: \( \sqrt{a^2} \) 또는 \( \sqrt{(-a)^2} \) 형태는 결과가 \(|a|\) (항상 0 이상)가 됩니다.
- 소수와 분수: 소수는 분수로 바꾸거나 제곱 형태를 바로 파악하여 계산합니다. (예: \( \sqrt{0.49} = \sqrt{(0.7)^2} = 0.7 \))
- 사칙연산 순서: 거듭제곱과 제곱근 계산 후 곱셈/나눗셈, 마지막으로 덧셈/뺄셈 순서로 계산합니다.
특히 \( \sqrt{a^2} = |a| \) 성질은 \(a\)가 음수일 때 \(|a|=-a\) 가 되므로 주의해야 하지만, 이 문제에서는 대부분 \(a^2\)의 형태로 먼저 계산되거나 절댓값 처리 후 양수로 계산되어 큰 혼란은 없습니다. 각 항을 정확히 계산하는 연습이 중요합니다.
✅ 최종 정답
계산 결과가 옳지 않은 것은 보기 ①입니다. (계산 결과 10 ≠ 제시된 값 4)
따라서 정답은 ①번입니다.