📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 \(a = \sqrt{11}\), \(b = -\sqrt{8}\), \(c = -2\) 일 때, 주어진 식 \((2a)^2 + 4c^2 – \sqrt{b^2} \times \sqrt{(-b)^2}\) 의 값을 계산하는 문제입니다. 풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 변수 값 대입: 주어진 \(a, b, c\) 값을 식에 직접 대입하기보다는, 식의 각 항을 먼저 제곱근의 성질을 이용하여 간단히 정리한 후 값을 계산하는 것이 효율적일 수 있습니다. 또는 각 항별로 값을 계산합니다.
- 각 항 계산: 식의 각 항 \((2a)^2\), \(4c^2\), \(\sqrt{b^2}\), \(\sqrt{(-b)^2}\) 을 개별적으로 계산합니다. 이 과정에서 제곱근의 성질(\((\sqrt{k})^2 = k\), \(\sqrt{k^2} = |k|\))과 지수 법칙(\((xy)^n = x^n y^n\))을 활용합니다.
- 곱셈 및 뺄셈 계산: 계산된 각 항의 값을 이용하여 곱셈(\(\sqrt{b^2} \times \sqrt{(-b)^2}\))을 수행하고, 최종적으로 덧셈과 뺄셈을 계산 순서에 맞게 수행합니다.
핵심 공식 및 성질:
- \( (xy)^2 = x^2 y^2 \)
- \( (\sqrt{k})^2 = k \) (단, \(k \ge 0\))
- \( \sqrt{k^2} = |k| \)
- \( (-k)^2 = k^2 \)
- \( \sqrt{k} \times \sqrt{k} = k \) (단, \(k \ge 0\))
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \( (2a)^2 \) 계산
\( a = \sqrt{11} \) 을 대입합니다.
$$ (2a)^2 = (2 \times \sqrt{11})^2 $$
지수 법칙 \( (xy)^2 = x^2 y^2 \) 를 적용합니다.
$$ = 2^2 \times (\sqrt{11})^2 $$
제곱근 성질 \( (\sqrt{k})^2 = k \) 를 적용합니다.
$$ = 4 \times 11 = 44 $$
Step 2: \( 4c^2 \) 계산
\( c = -2 \) 를 대입합니다.
$$ 4c^2 = 4 \times (-2)^2 $$
\( (-2)^2 = 4 \) 이므로,
$$ = 4 \times 4 = 16 $$
Step 3: \( \sqrt{b^2} \) 계산
\( b = -\sqrt{8} \) 을 대입합니다.
$$ \sqrt{b^2} = \sqrt{(-\sqrt{8})^2} $$
먼저 괄호 안의 제곱을 계산하면 \( (-\sqrt{8})^2 = 8 \) 입니다.
$$ = \sqrt{8} $$
(또는, 제곱근 성질 \( \sqrt{k^2} = |k| \) 를 이용하면 \( \sqrt{(-\sqrt{8})^2} = |-\sqrt{8}| = \sqrt{8} \) 입니다.)
Step 4: \( \sqrt{(-b)^2} \) 계산
\( b = -\sqrt{8} \) 이므로 \( -b = -(-\sqrt{8}) = \sqrt{8} \) 입니다.
이를 대입합니다.
$$ \sqrt{(-b)^2} = \sqrt{(\sqrt{8})^2} $$
먼저 괄호 안의 제곱을 계산하면 \( (\sqrt{8})^2 = 8 \) 입니다.
$$ = \sqrt{8} $$
(또는, 제곱근 성질 \( \sqrt{k^2} = |k| \) 를 이용하면 \( \sqrt{(\sqrt{8})^2} = |\sqrt{8}| = \sqrt{8} \) 입니다.)
Step 5: \( \sqrt{b^2} \times \sqrt{(-b)^2} \) 계산
Step 3과 Step 4의 결과를 이용하여 곱셈을 계산합니다.
$$ \sqrt{b^2} \times \sqrt{(-b)^2} = \sqrt{8} \times \sqrt{8} $$
제곱근 성질 \( \sqrt{k} \times \sqrt{k} = k \) 를 이용합니다.
$$ = 8 $$
Step 6: 최종 식의 값 계산
원래 식 \( (2a)^2 + 4c^2 – \sqrt{b^2} \times \sqrt{(-b)^2} \) 에 Step 1, Step 2, Step 5에서 구한 값들을 대입합니다.
$$ (2a)^2 + 4c^2 – \sqrt{b^2} \times \sqrt{(-b)^2} = 44 + 16 – 8 $$
덧셈과 뺄셈을 순서대로 계산합니다.
$$ = 60 – 8 = 52 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 변수에 값을 대입하고 제곱근의 성질을 이용하여 식의 값을 계산하는 문제입니다. 특히 다음 성질들을 정확히 이해하고 구분하는 것이 중요합니다.
- 제곱과 제곱근의 순서:
- \( (\sqrt{k})^2 = k \) (단, \(k \ge 0\)): 제곱근을 먼저 취하고 제곱하면 원래의 \(k\)가 됩니다.
- \( \sqrt{k^2} = |k| \): 제곱을 먼저 하고 제곱근을 취하면 절댓값 \(|k|\)가 됩니다. 이 결과는 항상 0 이상입니다.
- 대입 시 부호 처리: \(b = -\sqrt{8}\) 와 같이 변수 자체가 음수이거나 음의 부호를 포함할 때, \(-b\) 등을 계산하거나 제곱할 때 부호 처리에 주의해야 합니다. \((-b) = \sqrt{8}\) 이고 \(b^2 = (-\sqrt{8})^2 = 8\), \((-b)^2 = (\sqrt{8})^2 = 8\) 입니다.
- 계산 순서: 거듭제곱 및 제곱근 계산을 먼저 수행하고, 곱셈, 나눗셈, 마지막으로 덧셈, 뺄셈 순서를 따릅니다.
각 항을 차례대로 정확히 계산하고, 특히 제곱근과 제곱의 순서, 부호 처리에 유의하면 올바른 답을 얻을 수 있습니다.
✅ 최종 정답
계산 결과 \( (2a)^2 + 4c^2 – \sqrt{b^2} \times \sqrt{(-b)^2} = 52 \) 입니다.
따라서 정답은 ②번입니다.