📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 조건 \(a < 0\) 이 주어졌을 때, 제곱근을 포함한 식 \(-\sqrt{81a^2}\) 를 간단히 하는 문제입니다. 핵심 전략은 제곱근의 성질, 특히 \( \sqrt{k^2} = |k| \) 를 이용하고, 주어진 조건 \(a < 0\) 을 사용하여 절댓값을 푸는 것입니다.
- 근호 안 정리: 근호 안의 식 \(81a^2\) 을 완전제곱 형태로 만듭니다. (\(81a^2 = (9a)^2\))
- 제곱근 성질 적용: \( \sqrt{k^2} = |k| \) 성질을 이용하여 \( \sqrt{(9a)^2} \) 를 \(|9a|\) 로 변환합니다.
- 절댓값 계산: 주어진 조건 \(a < 0\) 을 이용하여 절댓값 안의 \(9a\) 의 부호를 판단합니다. \(9a\) 가 음수이므로 \(|9a| = -(9a) = -9a\) 로 계산합니다.
- 최종 계산: 원래 식의 앞부분에 있던 마이너스(-) 부호와 절댓값 계산 결과를 결합하여 최종 답을 구합니다.
핵심 공식 및 성질:
- \( \sqrt{k^2} = |k| \)
- 절댓값의 정의: \( |k| = \begin{cases} k & (k \ge 0) \\ -k & (k < 0) \end{cases} \)
- \( (xy)^2 = x^2 y^2 \)
가장 중요한 것은 \(\sqrt{k^2}\)이 \(k\)가 아니라 \(|k|\)라는 점과, \(k\)의 부호에 따라 절댓값이 어떻게 계산되는지를 이해하는 것입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 근호 안의 식 정리
주어진 식은 \(-\sqrt{81a^2}\) 입니다.
근호 안의 \(81a^2\) 에서 \(81 = 9^2\) 이므로, 다음과 같이 완전제곱 형태로 쓸 수 있습니다.
$$ 81a^2 = 9^2 \times a^2 = (9a)^2 $$
따라서 주어진 식은 다음과 같이 변형됩니다.
$$ -\sqrt{(9a)^2} $$
Step 2: 제곱근 성질 \(\sqrt{k^2} = |k|\) 적용
Step 1에서 변형된 식 \(-\sqrt{(9a)^2}\) 에 제곱근 성질 \( \sqrt{k^2} = |k| \) 를 적용합니다. 여기서 \(k = 9a\) 입니다.
$$ \sqrt{(9a)^2} = |9a| $$
따라서 원래 식은 다음과 같이 됩니다.
$$ – |9a| $$
Step 3: 절댓값 \(|9a|\) 계산 (조건 \(a < 0\) 활용)
절댓값을 계산하기 위해 절댓값 안의 \(9a\) 의 부호를 판단해야 합니다.
문제에서 \(a < 0\) 이라는 조건이 주어졌습니다.
양수 9와 음수 \(a\)를 곱하면 그 결과는 음수가 됩니다. 즉,
$$ 9a < 0 $$
절댓값의 정의에 따라, 절댓값 안의 값이 음수이면 절댓값 기호를 없애면서 앞에 마이너스(-) 부호를 붙여줍니다.
$$ |9a| = -(9a) = -9a $$
Step 4: 최종 결과 계산
Step 2에서 식은 \(-|9a|\) 로 정리되었습니다.
Step 3에서 \(|9a| = -9a\) 임을 계산했습니다.
이 결과를 대입합니다.
$$ – |9a| = -(-9a) $$
마이너스 부호가 두 번 곱해지므로 양수가 됩니다.
$$ = 9a $$
🧠 마무리 개념 정리
제곱근의 성질, 특히 \( \sqrt{k^2} = |k| \) 를 이용하는 문제는 주어진 변수의 부호 조건이 매우 중요합니다. 이 문제의 핵심은 다음과 같습니다.
- \( \sqrt{k^2} = |k| \) 적용: 근호 안의 제곱을 없앨 때는 반드시 절댓값을 사용해야 합니다. 단순히 \( \sqrt{k^2} = k \) 로 생각하면 오류가 발생할 수 있습니다.
- 절댓값 처리: 절댓값 안의 식의 부호를 판단하는 것이 중요합니다. 문제에서 주어진 조건(\(a < 0\))을 이용하여 절댓값 안(\(9a\))이 양수인지 음수인지를 판단하고, 그에 따라 절댓값을 올바르게 풀어야 합니다.
- \( |(\text{양수})| = (\text{양수}) \)
- \( |(\text{음수})| = -(\text{음수}) = (\text{양수}) \)
- 부호 계산: 식 전체의 부호와 절댓값을 풀 때 나오는 부호를 정확하게 계산해야 합니다. (예: \( -(-9a) = 9a \))
항상 \( \sqrt{k^2} = |k| \) 임을 기억하고, 절댓값 안의 부호 판단에 신중해야 합니다.
✅ 최종 정답
\(a < 0\) 일 때, \(-\sqrt{81a^2} = -\sqrt{(9a)^2} = -|9a| = -(-9a) = 9a\) 입니다.
따라서 정답은 ④번입니다.