📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 조건 \(0 < a < 1\) 하에서, 5개의 보기 중 그 값이 가장 큰 것을 찾는 문제입니다. \(a\)가 0과 1 사이의 수라는 조건이 매우 중요합니다. 이 조건을 이용하여 각 보기의 값을 분석하고 비교해야 합니다.
- 조건 활용: \(0 < a < 1\) 이면 \(a\)는 양수이지만 1보다 작습니다. 예를 들어 \(a = \frac{1}{4}\) 와 같은 값을 생각해보면 이해에 도움이 됩니다.
- 각 보기 분석: 각 보기에 주어진 식을 간단히 하거나, \(0 < a < 1\) 조건을 이용하여 그 값의 범위를 파악합니다.
- 제곱근과 제곱 계산: \((\sqrt{k})^2 = k\) (단, \(k \ge 0\)), \( \sqrt{k^2} = |k| \), \( (-k)^2 = k^2 \) 등의 성질을 이용합니다.
- 역수: \(0 < a < 1\) 일 때, 그 역수 \( \frac{1}{a} \) 는 1보다 커집니다.
- 제곱과 제곱근: \(0 < a < 1\) 일 때, \( a^2 < a \) 이고 \( \sqrt{a} > a \) 관계가 성립합니다.
- 대소 비교: 분석된 각 보기의 값 또는 범위를 서로 비교하여 가장 큰 값을 찾습니다. 특히 1을 기준으로 값의 크기를 비교하면 유용합니다.
핵심 개념: \(0 < a < 1\) 일 때의 대소 관계
- \( a^2 < a \)
- \( \sqrt{a} > a \)
- \( \frac{1}{a} > 1 \)
- \( \frac{1}{\sqrt{a}} > 1 \)
- \( a < \sqrt{a} \), 따라서 역수를 취하면 \( \frac{1}{a} > \frac{1}{\sqrt{a}} \)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 보기 ① 분석 (\( \frac{1}{a} \))
조건 \(0 < a < 1\) 에서 \(a\)는 0보다 크고 1보다 작은 양수입니다.
1보다 작은 양수의 역수는 항상 1보다 큽니다.
$$ \frac{1}{a} > 1 $$
(예: \(a = \frac{1}{2}\) 이면 \( \frac{1}{a} = 2 > 1 \))
Step 2: 보기 ② 분석 (\( (-a)^2 \))
먼저 식을 간단히 합니다.
$$ (-a)^2 = a^2 $$
조건 \(0 < a < 1\) 에서 1보다 작은 양수를 제곱하면 원래 수보다 작아집니다.
$$ 0 < a^2 < a < 1 $$
따라서 이 값은 0과 1 사이에 있습니다.
(예: \(a = \frac{1}{2}\) 이면 \( a^2 = \frac{1}{4} \), \( 0 < \frac{1}{4} < 1 \))
Step 3: 보기 ③ 분석 (\( a \))
조건 자체에 의해 \(a\)의 범위는 다음과 같습니다.
$$ 0 < a < 1 $$
이 값은 0과 1 사이에 있습니다.
Step 4: 보기 ④ 분석 (\( (-\sqrt{a})^2 \))
먼저 식을 간단히 합니다. \(a > 0\) 이므로 \(\sqrt{a}\)는 정의됩니다.
$$ (-\sqrt{a})^2 = (\sqrt{a})^2 = a $$
이 값은 보기 ③과 동일하며, 0과 1 사이에 있습니다.
$$ 0 < a < 1 $$
Step 5: 보기 ⑤ 분석 (\( \frac{1}{\sqrt{a}} \))
조건 \(0 < a < 1\) 에서 양변에 제곱근을 취하면 \( \sqrt{0} < \sqrt{a} < \sqrt{1} \) 이므로,
$$ 0 < \sqrt{a} < 1 $$
\( \sqrt{a} \) 는 0보다 크고 1보다 작은 양수입니다.
따라서 그 역수 \( \frac{1}{\sqrt{a}} \) 는 1보다 큽니다.
$$ \frac{1}{\sqrt{a}} > 1 $$
(예: \(a = \frac{1}{4}\) 이면 \( \sqrt{a} = \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{\sqrt{a}} = 2 > 1 \))
Step 6: 최종 대소 비교
지금까지 분석한 결과를 정리합니다.
- 1보다 큰 값: ① \( \frac{1}{a} \), ⑤ \( \frac{1}{\sqrt{a}} \)
- 0과 1 사이의 값: ② \( a^2 \), ③ \( a \), ④ \( a \)
가장 큰 값은 ① 또는 ⑤ 중에 있습니다. 이제 \( \frac{1}{a} \) 와 \( \frac{1}{\sqrt{a}} \) 를 비교합니다.
\(0 < a < 1\) 이므로, 양변에 \(\sqrt{a}\) (양수)를 곱해도 부등호 방향은 유지됩니다.
$$ 0 \times \sqrt{a} < a \times \sqrt{a} < 1 \times \sqrt{a} \implies 0 < a\sqrt{a} < \sqrt{a} $$
또한, \(0 < a < 1\) 이면 \(a\) 와 \(\sqrt{a}\) 중에서는 \(\sqrt{a}\) 가 더 큽니다.
$$ a < \sqrt{a} $$
두 양수 \(a\) 와 \(\sqrt{a}\) 에 대해 \( a < \sqrt{a} \) 이므로, 역수를 취하면 부등호 방향이 반대로 바뀝니다.
$$ \frac{1}{a} > \frac{1}{\sqrt{a}} $$
따라서 가장 큰 값은 \( \frac{1}{a} \) 입니다.
종합적인 대소 관계는 \( \frac{1}{a} > \frac{1}{\sqrt{a}} > 1 > \sqrt{a} > a > a^2 \) 입니다. (단, 이 문제 풀이에는 \( \sqrt{a} \) 와 1의 관계 등 모든 비교가 필요하진 않습니다.)
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 \(0 < a < 1\) 범위에서 \(a\), \(a^2\), \(\sqrt{a}\), \(\frac{1}{a}\), \(\frac{1}{\sqrt{a}}\) 등의 값들의 대소 관계를 이해하는 것이 핵심입니다.
- \(0 < a < 1\) 조건의 의미: 이 범위의 수는 제곱할수록 작아지고(\(a^2 < a\)), 제곱근을 취할수록 커집니다(\(\sqrt{a} > a\)).
- 역수의 성질: \(0 < a < 1\) 일 때, 그 역수 \(\frac{1}{a}\)는 1보다 커집니다. 마찬가지로 \(\sqrt{a}\) 도 \(0 < \sqrt{a} < 1\) 이므로 그 역수 \(\frac{1}{\sqrt{a}}\) 도 1보다 커집니다.
- 대소 비교 방법:
- 기준값(0 또는 1)과 비교하여 그룹을 나눕니다.
- 같은 그룹 내에서는 두 수의 차를 구하거나, 비율을 구하거나, 양수일 경우 제곱하여 비교하는 방법 등을 사용할 수 있습니다.
- 이 문제에서는 \(a\)와 \(\sqrt{a}\)의 대소 관계를 알고 역수를 취하는 것이 효과적이었습니다.
- 식의 단순화: \( (-a)^2 = a^2 \), \( (-\sqrt{a})^2 = a \) 와 같이 식을 먼저 간단히 정리하는 것이 중요합니다.
\(a\)의 값 범위에 따라 함수의 값이나 식의 대소 관계가 어떻게 변하는지 이해하는 것은 다양한 수학 문제를 해결하는 데 기본이 됩니다.
✅ 최종 정답
주어진 조건 \(0 < a < 1\) 하에서 각 보기의 값을 비교하면 \( \frac{1}{a} \) 가 가장 큽니다.
따라서 정답은 ①번입니다.