📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 변수 \(a\)와 \(b\)의 부호 조건(\(a > 0, b < 0\)) 하에서, 제곱근을 포함한 식 \( \sqrt{a^2} - \sqrt{(5b)^2} + \sqrt{(6b)^2} \) 을 간단히 하는 문제입니다. 핵심 전략은 제곱근의 성질 \( \sqrt{k^2} = |k| \) 를 이용하고, 주어진 부호 조건을 사용하여 각 항의 절댓값을 푸는 것입니다.
- 제곱근 성질 적용: 식의 각 항 \( \sqrt{a^2} \), \( \sqrt{(5b)^2} \), \( \sqrt{(6b)^2} \) 에 \( \sqrt{k^2} = |k| \) 성질을 적용하여 절댓값 형태로 바꿉니다.
- 절댓값 내부 부호 판단: 주어진 조건 \(a > 0\) 와 \(b < 0\) 을 이용하여 각 절댓값 기호 안의 식(\(a\), \(5b\), \(6b\))의 부호를 판단합니다.
- 절댓값 풀기: 판단된 부호에 따라 절댓값 기호를 제거합니다.
- 절댓값 안이 양수(\(\ge 0\))이면 그대로 나옵니다: \( |k| = k \)
- 절댓값 안이 음수(\(< 0\))이면 마이너스 부호를 붙여 나옵니다: \( |k| = -k \)
- 최종 식 정리: 절댓값을 푼 결과들을 원래 식에 대입하고 동류항을 계산하여 식을 간단히 합니다.
핵심 공식 및 성질:
- \( \sqrt{k^2} = |k| \)
- 절댓값의 정의: \( |k| = \begin{cases} k & (k \ge 0) \\ -k & (k < 0) \end{cases} \)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 각 항을 절댓값 형태로 변환
주어진 식은 \( \sqrt{a^2} – \sqrt{(5b)^2} + \sqrt{(6b)^2} \) 입니다.
제곱근 성질 \( \sqrt{k^2} = |k| \) 를 각 항에 적용합니다.
$$ \sqrt{a^2} = |a| $$
$$ \sqrt{(5b)^2} = |5b| $$
$$ \sqrt{(6b)^2} = |6b| $$
따라서 주어진 식은 다음과 같이 변형됩니다.
$$ |a| – |5b| + |6b| $$
Step 2: 각 절댓값 안의 부호 판단
주어진 조건은 \(a > 0\) 이고 \(b < 0\) 입니다.
- \(a\): 조건에 의해 \(a > 0\) (양수) 입니다.
- \(5b\): 양수 5와 음수 \(b\)의 곱이므로 \(5b < 0\) (음수) 입니다.
- \(6b\): 양수 6과 음수 \(b\)의 곱이므로 \(6b < 0\) (음수) 입니다.
Step 3: 절댓값 풀기
Step 2에서 판단한 부호를 바탕으로 절댓값 기호를 제거합니다.
- \(|a|\): \(a\)가 양수이므로, \(|a| = a\).
- \(|5b|\): \(5b\)가 음수이므로, \(|5b| = -(5b) = -5b\).
- \(|6b|\): \(6b\)가 음수이므로, \(|6b| = -(6b) = -6b\).
Step 4: 최종 식 계산 및 정리
Step 1에서 변형된 식 \( |a| – |5b| + |6b| \) 에 Step 3에서 계산한 결과를 대입합니다.
$$ a – (-5b) + (-6b) $$
괄호를 풀고 정리합니다.
$$ = a + 5b – 6b $$
동류항 \(5b\)와 \(-6b\)를 계산합니다.
$$ = a + (5 – 6)b = a – 1b = a – b $$
🧠 마무리 개념 정리
제곱근 안에 제곱이 있는 형태의 식을 간단히 할 때는 다음 두 가지가 가장 중요합니다.
- \( \sqrt{k^2} = |k| \) 변환: 근호와 제곱을 없앨 때 반드시 절댓값을 붙여야 합니다.
- 절댓값 처리: 문제에 주어진 변수의 부호 조건을 이용하여 절댓값 안의 식이 양수인지 음수인지를 판단하고, 그에 맞게 절댓값 기호를 제거해야 합니다.
- 절댓값 안이 양수면 그대로.
- 절댓값 안이 음수면 앞에 (-)를 붙여서 양수로 만들어 줌.
이 두 단계를 정확하게 수행하면 식을 올바르게 간단히 할 수 있습니다.
✅ 최종 정답
\(a > 0, b < 0\) 일 때, \( \sqrt{a^2} - \sqrt{(5b)^2} + \sqrt{(6b)^2} = |a| - |5b| + |6b| = a - (-5b) + (-6b) = a + 5b - 6b = a - b \) 입니다.
따라서 정답은 ③번입니다.