📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 변수 \(a\)와 \(b\)의 부호 조건(\(a > 0, ab < 0\)) 하에서, 제곱근과 제곱이 포함된 복잡한 식 \( 2\sqrt{(-a)^2} \times (-\sqrt{-2b})^2 - \sqrt{9a^2} \times \sqrt{0.\dot{4}b^2} \) 을 간단히 하는 문제입니다. 풀이 전략은 다음과 같습니다.
- \(b\)의 부호 결정: 조건 \(a > 0\) 와 \(ab < 0\) 을 이용하여 \(b\)의 부호를 먼저 결정합니다. (양수와 곱해서 음수가 되려면 \(b\)는 음수여야 합니다.)
- 순환소수 변환: 식에 포함된 순환소수 \(0.\dot{4}\) 를 분수로 변환합니다.
- 각 항 간단히 하기: 식의 각 부분을 제곱근의 성질(\(\sqrt{k^2}=|k|\), \((\sqrt{k})^2=k\))을 이용하여 간단히 합니다. 이 과정에서 변수의 부호 조건을 사용하여 절댓값을 계산하고, 근호 안의 값이 음수가 되지 않는지 확인합니다.
- 식 계산: 간단히 정리된 항들을 이용하여 전체 식의 곱셈과 뺄셈을 계산 순서에 맞게 수행하여 최종 답을 구합니다.
핵심 공식 및 성질:
- \( \sqrt{k^2} = |k| \)
- \( (\sqrt{k})^2 = k \) (단, \(k \ge 0\))
- \( (-\sqrt{k})^2 = k \) (단, \(k \ge 0\))
- 절댓값의 정의: \( |k| = \begin{cases} k & (k \ge 0) \\ -k & (k < 0) \end{cases} \)
- 순환소수 변환: \( 0.\dot{a} = \frac{a}{9} \)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(b\)의 부호 결정
주어진 조건은 \(a > 0\) 이고 \(ab < 0\) 입니다.
양수인 \(a\)와 \(b\)를 곱한 결과가 음수(\(ab < 0\))가 되려면, \(b\)는 반드시 음수여야 합니다.
$$ b < 0 $$
Step 2: 순환소수 \(0.\dot{4}\) 분수 변환
순환소수 \(0.\dot{4}\) 를 분수로 변환합니다.
$$ 0.\dot{4} = \frac{4}{9} $$
Step 3: 식의 각 부분 간단히 하기
주어진 식 \( 2\sqrt{(-a)^2} \times (-\sqrt{-2b})^2 – \sqrt{9a^2} \times \sqrt{0.\dot{4}b^2} \) 의 각 부분을 계산합니다.
-
\(2\sqrt{(-a)^2}\):
\( \sqrt{(-a)^2} = |-a| \). 조건 \(a > 0\) 이므로 \(-a < 0\) (음수) 입니다.
따라서 \( |-a| = -(-a) = a \) 입니다.
그러므로 \( 2\sqrt{(-a)^2} = 2a \).
-
\((-\sqrt{-2b})^2\):
먼저 근호 안의 \(-2b\) 의 부호를 확인합니다. 조건 \(b < 0\) 이므로 \(-2b > 0\) (양수) 입니다. 따라서 \(\sqrt{-2b}\)는 실수로 정의됩니다.
제곱근의 성질 \( (-\sqrt{k})^2 = k \) (단, \(k \ge 0\)) 를 이용합니다. 여기서 \(k = -2b > 0\) 입니다.
따라서 \( (-\sqrt{-2b})^2 = -2b \) 입니다.
-
\(\sqrt{9a^2}\):
\( \sqrt{9a^2} = \sqrt{(3a)^2} = |3a| \). 조건 \(a > 0\) 이므로 \(3a > 0\) (양수) 입니다.
따라서 \( |3a| = 3a \) 입니다.
-
\(\sqrt{0.\dot{4}b^2}\):
Step 2의 결과를 이용하여 식을 바꿉니다: \( \sqrt{\frac{4}{9}b^2} = \sqrt{(\frac{2}{3}b)^2} \).
제곱근 성질 \( \sqrt{k^2} = |k| \) 를 적용하면 \( |\frac{2}{3}b| \) 입니다.
조건 \(b < 0\) 이므로 \( \frac{2}{3}b < 0 \) (음수) 입니다.
따라서 \( |\frac{2}{3}b| = -(\frac{2}{3}b) = -\frac{2}{3}b \) 입니다.
Step 4: 전체 식 계산
Step 3에서 간단히 한 각 부분을 원래 식에 대입하여 계산합니다.
$$ (2a) \times (-2b) – (3a) \times \left(-\frac{2}{3}b\right) $$
곱셈을 먼저 계산합니다.
$$ = -4ab – \left(3a \times (-\frac{2}{3}b)\right) $$
$$ = -4ab – (-2ab) $$
괄호를 풀고 정리합니다.
$$ = -4ab + 2ab $$
동류항을 계산합니다.
$$ = (-4 + 2)ab = -2ab $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 제곱근의 성질, 특히 \( \sqrt{k^2}=|k| \) 와 \( (\sqrt{k})^2 = k \) (\(k \ge 0\)), 그리고 절댓값의 계산을 변수의 부호 조건 하에서 정확히 수행하는 능력을 요구합니다.
- 부호 조건 활용: \(a>0, b<0\) 조건은 절댓값 내부 식의 부호를 판단하는 데 결정적인 역할을 합니다. \(-2a, 3b, ab, -4ab, -2b, \frac{2}{3}b\) 등의 부호를 정확히 파악해야 합니다.
- 제곱근 안의 부호: \( \sqrt{k} \) 형태가 정의되려면 \( k \ge 0 \) 이어야 합니다. 이 문제에서 \( \sqrt{-2b} \) 가 등장하는데, \( b < 0 \) 이므로 \( -2b > 0 \) 이 되어 실수 범위에서 정의됨을 확인하는 것이 중요합니다.
- 순환소수 처리: 순환소수는 계산 전에 분수로 변환하는 것이 일반적입니다.
- 계산 순서와 부호: 곱셈과 뺄셈, 그리고 음수 부호 처리에 주의하여 계산 순서를 정확히 지켜야 합니다.
각 항을 분해하여 제곱근/제곱과 부호 조건을 차분히 적용한 후, 최종적으로 대수적인 계산을 수행하는 것이 효과적입니다.
✅ 최종 정답
주어진 식을 간단히 하면 \( -2ab \) 입니다.