📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 식 \( \sqrt{3^5 \times 7^2 \times x} \) 가 자연수가 되도록 하는 자연수 \(x\)의 값이 될 수 없는 것을 보기에서 찾는 문제입니다. 제곱근 안의 수가 어떤 형태여야 그 제곱근이 자연수가 되는지를 이용하는 것이 핵심 전략입니다.
- 제곱근이 자연수가 될 조건: \( \sqrt{N} \) 이 자연수가 되려면, 근호 안의 수 \(N\)이 어떤 자연수의 제곱, 즉 완전제곱수여야 합니다.
- 완전제곱수의 소인수분해 특징: 어떤 수가 완전제곱수이려면, 그 수를 소인수분해했을 때 모든 소인수의 지수가 짝수여야 합니다.
- 주어진 식 분석: 근호 안의 식 \( 3^5 \times 7^2 \times x \) 를 소인수분해 관점에서 분석합니다. 현재 3의 지수는 5(홀수)이고, 7의 지수는 2(짝수)입니다.
- \(x\)의 조건 찾기: 전체 식 \( 3^5 \times 7^2 \times x \) 의 모든 소인수 지수가 짝수가 되도록 하는 자연수 \(x\)의 조건을 찾습니다.
- 3의 지수를 짝수로 만들기 위해 \(x\)는 반드시 \(3\)을 홀수 개만큼 인수로 가져야 합니다. (최소 \(3^1\))
- 7의 지수는 이미 짝수이므로, \(x\)는 \(7\)을 짝수 개만큼 인수로 가질 수 있습니다. (없어도 됨, 즉 \(7^0\))
- \(x\)가 다른 소인수 \(p\)를 가진다면, 그 지수도 짝수여야 합니다.
- 보기 검증: 각 보기가 \(3 \times (\text{자연수})^2\) 꼴인지 확인하여, 이 형태가 아닌 것을 찾습니다.
핵심 개념:
- \( \sqrt{N} \) 이 자연수 \(\iff\) \(N\)은 완전제곱수
- \(N\)이 완전제곱수 \(\iff\) \(N\)을 소인수분해했을 때 모든 소인수의 지수가 짝수
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 제곱근이 자연수가 될 조건 설정
주어진 식 \( \sqrt{3^5 \times 7^2 \times x} \) 가 자연수가 되려면, 근호 안의 수 \( 3^5 \times 7^2 \times x \) 가 완전제곱수여야 합니다.
즉, 소인수분해했을 때 모든 소인수의 지수가 짝수여야 합니다.
Step 2: \(x\)의 형태 결정
현재 근호 안의 식은 \( 3^5 \times 7^2 \times x \) 입니다.
- 소인수 3의 지수는 5 (홀수) 입니다. 전체 지수를 짝수로 만들기 위해, \(x\)는 \(3\)을 홀수 개 인수로 가져야 합니다. (예: \(3^1, 3^3, 3^5, …\))
- 소인수 7의 지수는 2 (짝수) 입니다. 전체 지수를 짝수로 유지하기 위해, \(x\)는 \(7\)을 짝수 개 인수로 가져야 합니다. (예: \(7^0=1, 7^2, 7^4, …\))
- \(x\)가 다른 소인수 \(p\)를 가진다면, \(p\)의 지수도 짝수여야 합니다. (예: \(p^2, p^4, …\))
이 조건들을 종합하면, \(x\)는 반드시 \(3^1\) 인수를 포함하고, 나머지 인수들은 모두 제곱수 형태여야 합니다.
따라서 \(x\)는 \( x = 3 \times k^2 \) (단, \(k\)는 자연수) 의 꼴이어야 합니다.
Step 3: 보기 검증
각 보기가 \( 3 \times k^2 \) 꼴인지 확인합니다.
① 12:
\( 12 = 3 \times 4 = 3 \times 2^2 \). (\(k=2\)) ➡️ 가능② 21:
\( 21 = 3 \times 7 \). 7은 제곱수가 아닙니다. ➡️ 불가능③ 27:
\( 27 = 3 \times 9 = 3 \times 3^2 \). (\(k=3\)) ➡️ 가능④ 48:
\( 48 = 3 \times 16 = 3 \times 4^2 \). (\(k=4\)) ➡️ 가능⑤ 75:
\( 75 = 3 \times 25 = 3 \times 5^2 \). (\(k=5\)) ➡️ 가능
Step 4: 결론
보기 중에서 \( x = 3 \times k^2 \) (단, \(k\)는 자연수) 꼴로 나타낼 수 없는 것은 ② 21 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
제곱근 \( \sqrt{N} \) 이 자연수가 되기 위한 조건을 묻는 문제는 다음을 기억해야 합니다.
- 근호 안의 수 \(N\)이 완전제곱수여야 합니다.
- 이를 확인하는 가장 좋은 방법은 \(N\)을 소인수분해하여 모든 소인수의 지수가 짝수인지 확인하는 것입니다.
- 문제에서 \( N = A \times x \) 형태로 주어지면, \(A\)를 먼저 소인수분해하여 지수가 홀수인 소인수를 찾습니다. \(x\)는 이 홀수 지수들을 짝수로 만들어 주고, 동시에 \(x\) 자체의 다른 소인수들의 지수도 짝수가 되도록 하는 수여야 합니다.
- 결론적으로 \(x\)는 “(A에서 지수가 홀수인 소인수들의 곱) \(\times\) (임의의 제곱수)” 형태가 됩니다. 이 문제에서는 지수가 홀수인 소인수가 3 하나였으므로 \(x = 3 \times k^2\) 꼴이 되었습니다.
각 보기의 수를 소인수분해하여 필요한 형태(\(3 \times k^2\))가 되는지 확인하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
✅ 최종 정답
\( \sqrt{3^5 \times 7^2 \times x} \) 가 자연수가 되려면 \(x\)는 \( 3 \times (\text{자연수})^2 \) 꼴이어야 합니다. 보기 중 이 꼴이 아닌 것은 21 (\( = 3 \times 7 \)) 입니다.
따라서 정답은 ②번입니다.