📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 부등식 \( 3 < \sqrt{x} \le 4 \) 를 만족시키는 자연수 \(x\)의 개수를 구하는 문제입니다. 부등식에 제곱근이 포함되어 있으므로, 부등식의 성질을 이용하여 \(x\)의 범위를 찾는 전략을 사용합니다.
- 부등식 변형 목표: 부등식에서 \(\sqrt{x}\) 대신 \(x\)의 범위를 구하는 것을 목표로 합니다.
- 제곱 이용: 부등식의 모든 변(\(3, \sqrt{x}, 4\))이 양수이므로, 각 변을 제곱해도 부등호의 방향이 유지됩니다. 이 성질을 이용하여 \(\sqrt{x}\)를 \(x\)로 만듭니다.
- \(x\)의 범위 계산: 각 변을 제곱하여 \(x\)에 대한 새로운 부등식을 얻습니다.
- 자연수 개수 세기: 얻어진 \(x\)의 범위 내에 포함되는 자연수(양의 정수)의 개수를 셉니다.
핵심 개념 및 성질:
- 부등식의 성질: \(0 < a < b\) 이면 \( a^2 < b^2 \) 입니다. 마찬가지로 \(0 < a < b \le c\) 이면 \( a^2 < b^2 \le c^2 \) 입니다. (모든 변이 0 이상일 때 제곱해도 부등호 방향 유지)
- 제곱근과 제곱: \( (\sqrt{x})^2 = x \) (단, \(x \ge 0\))
- 자연수 개수 세기: 부등식 \( m < x \le n \) (m, n은 정수)를 만족하는 정수 \(x\)의 개수는 \(n - m\) 개 입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 부등식 확인
주어진 부등식은 \( 3 < \sqrt{x} \le 4 \) 입니다.
이 부등식의 모든 변(3, \(\sqrt{x}\), 4)은 양수입니다. (\(x\)는 자연수이므로 \(\sqrt{x}\)도 양수입니다.)
Step 2: 부등식의 각 변 제곱하기
모든 변이 양수이므로, 각 변을 제곱해도 부등호의 방향은 그대로 유지됩니다.
$$ 3^2 < (\sqrt{x})^2 \le 4^2 $$
Step 3: 제곱 계산 및 \(x\)의 범위 구하기
각 항의 제곱 값을 계산합니다.
- \( 3^2 = 9 \)
- \( (\sqrt{x})^2 = x \)
- \( 4^2 = 16 \)
계산된 값을 부등식에 대입하여 \(x\)의 범위를 구합니다.
$$ 9 < x \le 16 $$
Step 4: 범위 내 자연수 개수 계산
부등식 \( 9 < x \le 16 \) 를 만족시키는 자연수 \(x\)를 찾습니다.
이 범위에 해당하는 자연수는 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 입니다.
개수를 세면 총 7개입니다.
(또는 공식을 이용하여 \( 16 – 9 = 7 \) 개로 계산할 수 있습니다.)
🧠 마무리 개념 정리
제곱근을 포함한 부등식 \( a < \sqrt{x} \le b \) (단, \(a, b\)는 양수)를 푸는 방법은 다음과 같습니다.
- 부등식의 모든 변이 양수임을 확인합니다.
- 각 변을 제곱하여 제곱근 기호를 없앱니다. 이때 부등호 방향은 유지됩니다. (\( a^2 < x \le b^2 \))
- 얻어진 \(x\)의 범위 내에서 문제에서 요구하는 수(자연수, 정수 등)의 개수를 셉니다.
특히 부등식 \( m < x \le n \) 을 만족하는 정수의 개수는 \(n-m\)개임을 기억하면 편리합니다.
✅ 최종 정답
부등식 \( 9 < x \le 16 \) 를 만족시키는 자연수 \(x\)는 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16으로 총 7개입니다.
따라서 정답은 7개 입니다.