📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 등식 \( \sqrt{\frac{112}{m}} = n \) 이 성립하도록 하는 자연수 \(m, n\)의 순서쌍 \((m, n)\)을 모두 구하는 문제입니다. 등식의 우변 \(n\)이 자연수이므로, 좌변 \( \sqrt{\frac{112}{m}} \) 도 자연수가 되어야 합니다. 이는 근호 안의 값 \( \frac{112}{m} \) 이 어떤 자연수의 제곱, 즉 완전제곱수가 되어야 함을 의미합니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 완전제곱수 조건 설정: \( \frac{112}{m} \) 가 완전제곱수가 되어야 합니다. (\( = k^2 \), \(k\)는 자연수)
- 소인수분해: 분자 112를 소인수분해하여 \( \frac{112}{m} \) 의 구조를 파악합니다.
- \(m\)의 조건 분석: \( \frac{112}{m} \) 이 완전제곱수가 되려면, \(m\)으로 나눈 후 남은 소인수들의 지수가 모두 짝수가 되어야 합니다. 또한 \(m\)은 112의 약수여야 합니다.
- 가능한 \(m\) 찾기: 위 조건을 만족하는 자연수 \(m\)을 모두 찾습니다. \(m\)은 “112의 소인수 중 지수가 홀수인 것들 \(\times\) (제곱수)” 형태가 되어야 하며, 동시에 112의 약수여야 합니다.
- \(n\) 값 계산: 찾은 각각의 \(m\) 값에 대해 \( n = \sqrt{\frac{112}{m}} \) 을 계산합니다.
- 순서쌍 나열: 구한 \((m, n)\) 순서쌍을 모두 제시합니다.
핵심 개념:
- \( \sqrt{N} = n \) (n은 자연수) \(\iff\) \(N = n^2\), 즉 \(N\)은 완전제곱수 (단, N > 0)
- \(N\)이 완전제곱수 \(\iff\) \(N\)을 소인수분해했을 때 모든 소인수의 지수가 짝수
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 완전제곱수 조건 및 112 소인수분해
\( \sqrt{\frac{112}{m}} = n \) (n은 자연수) 이 성립하려면, \( \frac{112}{m} \) 은 자연수 \(n^2\), 즉 완전제곱수여야 합니다.
먼저 112를 소인수분해합니다.
$$ 112 = 16 \times 7 = 2^4 \times 7^1 $$
따라서 \( \frac{2^4 \times 7^1}{m} \) 이 완전제곱수가 되어야 합니다.
Step 2: \(m\)의 조건 분석
\( \frac{2^4 \times 7^1}{m} \) 이 완전제곱수가 되려면, \(m\)으로 약분한 후 남은 소인수 2와 7의 지수가 모두 짝수가 되어야 합니다.
- 소인수 2의 지수는 4 (짝수) 입니다. \(m\)은 \(2\)를 짝수 개만큼 인수로 가져야 (약분 후에도 2의 지수가 짝수가 되도록) 합니다. 가능한 2의 지수는 0, 2, 4 입니다. (\(m\)은 \(2^4 \times 7^1\)의 약수이므로)
- 소인수 7의 지수는 1 (홀수) 입니다. \(m\)은 반드시 \(7^1\) 인수를 포함하여 약분 후 7의 지수를 0 (짝수)으로 만들어야 합니다.
따라서, \(m\)은 \(7^1\)을 반드시 포함하고, \(2^0, 2^2, 2^4\) 중 하나를 인수로 가져야 합니다.
즉, \(m\)은 \( 7 \times (\text{완전제곱수}) \) 꼴이어야 하며, 이 완전제곱수는 \(2^4 = 16\)의 약수 중 제곱수여야 합니다. 가능한 제곱수는 \(1=1^2, 4=2^2, 16=4^2\) 입니다.
Step 3: 가능한 \(m\) 값 구하기
Step 2의 조건을 만족하는 \(m\) 값을 모두 구합니다.
- 가능한 제곱수가 \(1^2 = 1\) 일 때: \( m = 7 \times 1^2 = 7 \)
- 가능한 제곱수가 \(2^2 = 4\) 일 때: \( m = 7 \times 2^2 = 7 \times 4 = 28 \)
- 가능한 제곱수가 \(4^2 = 16\) 일 때: \( m = 7 \times 4^2 = 7 \times 16 = 112 \)
따라서 가능한 자연수 \(m\)은 7, 28, 112 입니다.
Step 4: 각 \(m\) 값에 대한 \(n\) 값 계산
각 \(m\) 값에 대해 \( n = \sqrt{\frac{112}{m}} \) 을 계산합니다.
- \( m = 7 \) 일 때:
$$ n = \sqrt{\frac{112}{7}} = \sqrt{16} = \sqrt{4^2} = 4 $$
순서쌍: \( (7, 4) \)
- \( m = 28 \) 일 때:
$$ n = \sqrt{\frac{112}{28}} = \sqrt{4} = \sqrt{2^2} = 2 $$
순서쌍: \( (28, 2) \)
- \( m = 112 \) 일 때:
$$ n = \sqrt{\frac{112}{112}} = \sqrt{1} = \sqrt{1^2} = 1 $$
순서쌍: \( (112, 1) \)
🧠 마무리 개념 정리
\( \sqrt{\frac{A}{m}} = n \) (n은 자연수) 형태의 문제를 푸는 핵심은 \( \frac{A}{m} \) 가 완전제곱수가 되도록 하는 자연수 \(m\)을 찾는 것입니다.
- \(A\)를 소인수분해합니다.
- \(m\)은 \(A\)의 약수여야 합니다.
- \( \frac{A}{m} \) 의 모든 소인수 지수가 짝수가 되어야 합니다. 따라서 \(m\)은 \(A\)의 소인수 중 지수가 홀수인 것들을 반드시 하나씩 포함해야 하고, 나머지 인수들은 제곱수 형태여야 합니다.
- 이를 만족하는 모든 가능한 \(m\) 값을 찾습니다. \(m\)은 (A의 홀수 지수 소인수들 곱) \(\times k^2\) 형태이며, 여기서 \(k^2\)은 \(A\)의 약수인 제곱수여야 합니다.
- 각 \(m\)에 대해 \(n = \sqrt{\frac{A}{m}}\)을 계산하여 순서쌍 \((m, n)\)을 구합니다.
소인수분해와 지수 법칙, 완전제곱수의 조건을 정확히 이해하고 체계적으로 가능한 경우를 찾는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
주어진 식을 만족시키는 자연수 \(m, n\)의 순서쌍 \((m, n)\)은 모두 다음과 같습니다.
$$ (7, 4), (28, 2), (112, 1) $$