📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 식 \( \sqrt{78 + x} \) 가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 \(x\)의 값을 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위한 핵심 전략은 다음과 같습니다.
- 제곱근이 자연수가 될 조건: \( \sqrt{N} \) 이 자연수가 되려면, 근호 안의 수 \(N\)이 어떤 자연수의 제곱, 즉 완전제곱수여야 합니다. 따라서, \( 78 + x \) 가 완전제곱수가 되어야 합니다.
- \(x\)의 조건 고려: \(x\)는 자연수(\(x \ge 1\))이므로, \( 78 + x \) 는 \( 78 + 1 = 79 \) 보다 크거나 같은 완전제곱수입니다. 즉, \( 78 + x > 78 \) 인 완전제곱수입니다.
- 완전제곱수 찾기: 78보다 큰 완전제곱수를 작은 것부터 차례대로 찾습니다.
- 가장 작은 \(x\) 찾기: \( 78 + x \) 가 될 수 있는 완전제곱수 중에서 가장 작은 값을 선택합니다. 이 값을 \(n^2\) 라고 하면, \( 78 + x = n^2 \) 을 만족하는 \(x\)가 가장 작은 자연수 \(x\)가 됩니다.
- \(x\) 값 계산: 위에서 찾은 가장 작은 완전제곱수 \(n^2\)를 이용하여 \( x = n^2 – 78 \) 을 계산합니다.
핵심 개념:
- \( \sqrt{N} \) 이 자연수 \(\iff\) \(N\)은 완전제곱수 (단, N > 0)
- 완전제곱수: 자연수를 제곱하여 얻어지는 수 (예: \(1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, …\))
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 제곱근이 자연수가 될 조건 설정
\( \sqrt{78 + x} \) 가 자연수가 되려면, 근호 안의 값 \( 78 + x \) 가 어떤 자연수 \(n\)의 제곱(\(n^2\))이어야 합니다.
$$ 78 + x = n^2 \quad (\text{단, } n\text{은 자연수}) $$
Step 2: \(n^2\)의 범위 설정
\(x\)는 자연수이므로 \( x \ge 1 \) 입니다.
따라서 \( 78 + x \ge 78 + 1 = 79 \) 입니다.
즉, \( n^2 = 78 + x \) 는 78보다 큰 완전제곱수여야 합니다.
$$ n^2 > 78 $$
Step 3: 78보다 큰 완전제곱수 찾기
78보다 큰 완전제곱수를 작은 것부터 나열해 봅니다.
- \( 8^2 = 64 \) (78보다 작음)
- \( 9^2 = 81 \) (78보다 큼)
- \( 10^2 = 100 \) (78보다 큼)
- \( 11^2 = 121 \) (78보다 큼)
- …
따라서 \( 78 + x \) 가 될 수 있는 값은 81, 100, 121, … 등입니다.
Step 4: 가장 작은 자연수 \(x\) 구하기
문제에서 가장 작은 자연수 \(x\)를 구하라고 했습니다.
\( x = n^2 – 78 \) 이므로, \(x\)가 가장 작으려면 \(n^2\) (즉, \(78+x\))이 가능한 값 중 가장 작아야 합니다.
Step 3에서 찾은 78보다 큰 완전제곱수 중 가장 작은 값은 81입니다.
따라서 \( 78 + x \) 의 최솟값은 81입니다.
$$ 78 + x = 81 $$
이 식을 풀어 \(x\)를 구합니다.
$$ x = 81 – 78 = 3 $$
Step 5: 확인
\(x = 3\) 일 때, \(\sqrt{78 + x} = \sqrt{78 + 3} = \sqrt{81} = 9\) 입니다.
9는 자연수이므로 조건을 만족합니다.
\(x = 3\)은 78보다 큰 완전제곱수 중 가장 작은 값인 81을 이용하여 구했으므로, 가장 작은 자연수 \(x\)입니다.
🧠 마무리 개념 정리
\( \sqrt{A + x} \) (또는 \( \sqrt{A – x} \) ) 형태의 식이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 \(x\)를 찾는 문제는 다음 단계를 따릅니다.
- 근호 안의 식 \(A + x\) 가 완전제곱수가 되어야 함을 인지합니다.
- \(x\)가 자연수라는 조건으로부터 \(A + x\) 가 \(A\)보다 큰 완전제곱수여야 함을 파악합니다. (\( \sqrt{A – x} \) 의 경우는 \(A\)보다 작은 완전제곱수를 찾습니다.)
- 주어진 수 \(A\)보다 크면서 가장 가까운 (즉, 가장 작은) 완전제곱수를 찾습니다. (\( \sqrt{A – x} \) 의 경우는 \(A\)보다 작으면서 가장 가까운 완전제곱수를 찾습니다.)
- \( A + x = (\text{찾은 완전제곱수}) \) (또는 \( A – x = (\text{찾은 완전제곱수}) \) ) 방정식을 풀어 \(x\)를 구합니다.
완전제곱수를 순서대로 (\(1^2, 2^2, 3^2, …\)) 기억하고 주어진 수와 비교하는 능력이 중요합니다.
✅ 최종 정답
\( \sqrt{78 + x} \) 가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 \(x\)는 3입니다.
따라서 정답은 ③번입니다.