📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 조건 \(0 < a < 1\) 하에서, 보기 ① \(\sqrt{a}\), ② \(a\), ③ \(a^2\), ④ \(\sqrt{\frac{1}{a}}\), ⑤ \(\sqrt{\frac{1}{a^2}}\) 중에서 그 값이 가장 큰 것을 찾는 문제입니다. \(a\)가 0과 1 사이의 수라는 특수한 조건을 활용하여 각 식의 값을 비교하는 것이 핵심입니다.
- 조건 활용: \(0 < a < 1\) 일 때의 주요 대소 관계를 이용합니다. 예를 들어 \(a^2 < a < \sqrt{a} < 1 < \frac{1}{\sqrt{a}} < \frac{1}{a}\) 와 같은 관계가 성립합니다.
- 식 정리: 계산하거나 비교하기 쉽도록 각 보기를 간단히 정리합니다. 특히 보기 ⑤는 \( \sqrt{\frac{1}{a^2}} = \frac{1}{\sqrt{a^2}} = \frac{1}{|a|} \) 로 정리할 수 있습니다.
- 값의 범위 파악: \(0 < a < 1\) 조건을 이용하여 각 보기의 값이 1보다 큰지 작은지를 먼저 판단합니다.
- 세부 비교: 1보다 큰 값들끼리, 또는 1보다 작은 값들끼리 대소를 비교하여 최종적으로 가장 큰 값을 찾습니다.
핵심 개념: \(0 < a < 1\) 일 때의 대소 관계
\(a\)가 0과 1 사이의 수일 때, 다음 대소 관계가 성립합니다:
$$ a^2 < a < \sqrt{a} < 1 < \frac{1}{\sqrt{a}} < \frac{1}{a} $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 보기 ①, ②, ③ 분석 (0 < 값 < 1)
조건 \(0 < a < 1\) 이 주어졌습니다.
보기 ② (\(a\)): 주어진 조건에 의해 \(0 < a < 1\) 입니다.
보기 ③ (\(a^2\)): \(0 < a < 1\) 인 수를 제곱하면 원래 수보다 작아집니다. (\(a^2 < a\)). 따라서 \(0 < a^2 < 1\) 입니다.
보기 ① (\(\sqrt{a}\)): \(0 < a < 1\) 인 수에 제곱근을 취하면 원래 수보다 커지지만 여전히 1보다는 작습니다. (\(a < \sqrt{a} < 1\)). 따라서 \(0 < \sqrt{a} < 1\) 입니다.
정리하면, \(0 < a^2 < a < \sqrt{a} < 1\) 이므로 보기 ①, ②, ③의 값은 모두 1보다 작습니다.
Step 2: 보기 ⑤ 정리 및 분석 (\( \sqrt{\frac{1}{a^2}} \))
보기 ⑤는 \( \sqrt{\frac{1}{a^2}} \) 입니다.
제곱근의 성질을 이용하여 정리합니다.
$$ \sqrt{\frac{1}{a^2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{a^2}} = \frac{1}{|a|} $$
조건에서 \(a > 0\) 이므로 \(|a| = a\) 입니다.
따라서 보기 ⑤는 \( \frac{1}{a} \) 와 같습니다.
조건 \(0 < a < 1\) 에서 역수를 취하면 1보다 커집니다.
$$ \frac{1}{a} > 1 $$
Step 3: 보기 ④ 분석 (\( \sqrt{\frac{1}{a}} \))
보기 ④는 \( \sqrt{\frac{1}{a}} \) 입니다.
이는 \( \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}} \) 와 같습니다.
Step 1에서 \(0 < \sqrt{a} < 1\) 임을 알았습니다.
따라서 그 역수인 \( \frac{1}{\sqrt{a}} \) 는 1보다 큽니다.
$$ \frac{1}{\sqrt{a}} > 1 $$
Step 4: 최종 대소 비교
보기 ①, ②, ③은 모두 1보다 작습니다.
보기 ④ (\(\frac{1}{\sqrt{a}}\)) 와 보기 ⑤ (\(\frac{1}{a}\))는 모두 1보다 큽니다.
따라서 가장 큰 값은 보기 ④와 ⑤ 둘 중 하나입니다.
이제 \( \frac{1}{\sqrt{a}} \) 와 \( \frac{1}{a} \) 를 비교합니다.
\(0 < a < 1\) 일 때 \( a < \sqrt{a} \) 입니다. (예: \(a=\frac{1}{4}\) 이면 \(\sqrt{a}=\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4} < \frac{1}{2}\))
두 양수 \(a\)와 \(\sqrt{a}\)에 대해 \(a < \sqrt{a}\) 이므로, 양변의 역수를 취하면 부등호 방향이 반대로 바뀝니다.
$$ \frac{1}{a} > \frac{1}{\sqrt{a}} $$
즉, 보기 ⑤의 값이 보기 ④의 값보다 큽니다.
따라서 주어진 보기 중에서 가장 큰 값은 보기 ⑤ (\( \sqrt{\frac{1}{a^2}} = \frac{1}{a} \)) 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
변수 \(a\)가 \(0 < a < 1\) 범위를 가질 때, \(a\)를 포함하는 다양한 식들의 대소 관계를 파악하는 것은 중요합니다.
- 기본 대소 관계: \( a^2 < a < \sqrt{a} < 1 \)
- 역수와의 관계: \( \frac{1}{a} > 1 \), \( \frac{1}{\sqrt{a}} > 1 \)
- 역수 간의 관계: \( a < \sqrt{a} \implies \frac{1}{a} > \frac{1}{\sqrt{a}} \)
이러한 대소 관계는 그래프(예: \(y=x\), \(y=x^2\), \(y=\sqrt{x}\) 등)를 그려서 시각적으로 확인하거나, \(a=\frac{1}{4}\) 와 같은 구체적인 값을 대입하여 확인해 볼 수 있습니다. 식을 간단히 정리하고(\( \sqrt{\frac{1}{a^2}}=\frac{1}{a} \)), 알려진 대소 관계를 적용하여 답을 찾는 것이 효과적입니다.
✅ 최종 정답
주어진 조건 \(0 < a < 1\) 하에서 보기 ①, ②, ③, ④, ⑤ 중 값이 가장 큰 것은 ⑤ \( \sqrt{\frac{1}{a^2}} \) (즉, \(\frac{1}{a}\)) 입니다.
따라서 정답은 ⑤번입니다.