📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 제곱근 안에 완전제곱식이 포함된 식 \( \sqrt{(3+\sqrt{15})^2} – \sqrt{(2-\sqrt{15})^2} \) 을 간단히 하는 문제입니다. 핵심 전략은 제곱근의 성질 \( \sqrt{k^2} = |k| \) 를 이용하여 식을 절댓값으로 표현한 후, 각 절댓값 안의 식의 부호를 판단하여 절댓값을 푸는 것입니다.
- 절댓값 변환: \( \sqrt{k^2} = |k| \) 성질을 이용하여 주어진 식을 \( |3+\sqrt{15}| – |2-\sqrt{15}| \) 로 변환합니다.
- 부호 판단: 각 절댓값 안의 식 (\(3+\sqrt{15}\) 와 \(2-\sqrt{15}\))이 양수인지 음수인지를 판단합니다. 이를 위해 필요한 경우 제곱근의 근삿값을 이용하거나 수를 제곱하여 비교합니다.
- 절댓값 풀기: 판단된 부호에 따라 절댓값 기호를 제거합니다. (\(|k| = k\) if \(k \ge 0\), \(|k| = -k\) if \(k < 0\))
- 최종 계산: 절댓값을 푼 결과들을 이용하여 뺄셈을 계산하고 식을 간단히 합니다.
핵심 공식 및 성질:
- \( \sqrt{k^2} = |k| \)
- 절댓값의 정의: \( |k| = \begin{cases} k & (k \ge 0) \\ -k & (k < 0) \end{cases} \)
- 실수 대소 비교: \(a, b\)를 비교하기 위해 \(a^2, b^2\)를 비교하거나 \(a=\sqrt{a^2}, b=\sqrt{b^2}\) (\(a,b\ge 0\))로 변환하여 비교.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 제곱근 성질을 이용하여 절댓값으로 변환
주어진 식은 \( \sqrt{(3+\sqrt{15})^2} – \sqrt{(2-\sqrt{15})^2} \) 입니다.
\( \sqrt{k^2} = |k| \) 성질을 각 항에 적용합니다.
$$ \sqrt{(3+\sqrt{15})^2} = |3+\sqrt{15}| $$
$$ \sqrt{(2-\sqrt{15})^2} = |2-\sqrt{15}| $$
따라서 주어진 식은 다음과 같이 변형됩니다.
$$ |3+\sqrt{15}| – |2-\sqrt{15}| $$
Step 2: 각 절댓값 내부 식의 부호 판단
\(3+\sqrt{15}\): 3은 양수이고 \(\sqrt{15}\)도 양수이므로, 그 합인 \(3+\sqrt{15}\)는 명백히 양수입니다.
$$ 3+\sqrt{15} > 0 $$
\(2-\sqrt{15}\): 2와 \(\sqrt{15}\)의 대소를 비교합니다. 각 수를 제곱하여 비교합니다.
$$ 2^2 = 4 $$
$$ (\sqrt{15})^2 = 15 $$
\(4 < 15\) 이므로, 양수 범위에서 \( \sqrt{4} < \sqrt{15} \), 즉 \( 2 < \sqrt{15} \) 입니다.
따라서 작은 수 2에서 큰 수 \(\sqrt{15}\)를 뺐으므로, \(2-\sqrt{15}\)는 음수입니다.
$$ 2-\sqrt{15} < 0 $$
(해설의 \(3 = \sqrt{9}\) 등 비교는 \(\sqrt{15}\)가 대략 3과 4 사이 값임을 보여주며, \(2-\sqrt{15}\)가 음수임을 판단하는 데 사용될 수 있습니다: \(2=\sqrt{4}\) 이고 \(\sqrt{15}\)는 \(\sqrt{9}\)보다 크므로 \(2 < 3 < \sqrt{15}\) 임을 알 수 있습니다.)
Step 3: 절댓값 풀기
Step 2에서 판단한 부호를 바탕으로 절댓값 기호를 제거합니다.
- \(|3+\sqrt{15}|\): \(3+\sqrt{15}\)가 양수이므로, \(|3+\sqrt{15}| = 3+\sqrt{15}\).
- \(|2-\sqrt{15}|\): \(2-\sqrt{15}\)가 음수이므로, \(|2-\sqrt{15}| = -(2-\sqrt{15}) = -2+\sqrt{15}\).
Step 4: 최종 식 계산
Step 1에서 변형된 식 \( |3+\sqrt{15}| – |2-\sqrt{15}| \) 에 Step 3의 결과를 대입합니다.
$$ (3+\sqrt{15}) – (-2+\sqrt{15}) $$
괄호를 풀고 정리합니다.
$$ = 3 + \sqrt{15} + 2 – \sqrt{15} $$
동류항끼리 계산합니다.
$$ = (3 + 2) + (\sqrt{15} – \sqrt{15}) $$
$$ = 5 + 0 = 5 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 제곱근의 성질 \( \sqrt{k^2} = |k| \) 와 절댓값의 정의를 이용하여 식을 간단히 하는 문제입니다. 특히 \( \sqrt{(\cdot)^2} \) 형태를 계산할 때 주의해야 할 점은 다음과 같습니다.
- 먼저 \( \sqrt{(\cdot)^2} = |(\cdot)| \) 로 변환합니다.
- 절댓값 기호 안의 식 \( (\cdot) \) 의 부호(양수 또는 음수)를 정확히 판단합니다. 무리수가 포함된 경우, 정수를 제곱근 형태로 바꾸거나(\(a=\sqrt{a^2}\)) 양변을 제곱하여 대소 관계를 비교합니다.
- 판단된 부호에 따라 절댓값 기호를 제거합니다. (\( |\text{양수}| = \text{양수} \), \( |\text{음수}| = -(\text{음수}) = \text{양수} \))
- 최종적으로 얻어진 식을 계산하여 간단히 합니다.
실수 대소 비교 능력과 절댓값 계산 규칙을 정확히 적용하는 것이 핵심입니다.
✅ 최종 정답
\( \sqrt{(3+\sqrt{15})^2} – \sqrt{(2-\sqrt{15})^2} = |3+\sqrt{15}| – |2-\sqrt{15}| = (3+\sqrt{15}) – (-(2-\sqrt{15})) = 3+\sqrt{15} + 2 – \sqrt{15} = 5 \) 입니다.
따라서 정답은 ③번입니다.