📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 함수 \(f\)의 정의를 이해하고, 특정 함숫값을 구하여 그 차를 계산하는 문제입니다. 함수 \(f\)는 다음과 같이 정의됩니다: “자연수 \(x\)에 대하여 \(f(3x-2)\)는 \(\sqrt{x}\) 이하의 자연수 중 가장 큰 수이다.”
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 함수 정의 해석: \(f(k)\) 값을 구하려면, 먼저 \(k = 3x – 2\) 를 만족하는 자연수 \(x\)를 찾아야 합니다. 그 다음, 찾은 \(x\)에 대해 \(\sqrt{x}\) 값을 계산하고, 이 값보다 크지 않은 (작거나 같은) 가장 큰 자연수를 찾습니다. 이는 \(\sqrt{x}\)의 정수 부분을 구하는 것과 같습니다 (즉, \(f(3x-2) = \lfloor \sqrt{x} \rfloor\), 여기서 \(\lfloor \cdot \rfloor\)는 바닥 함수 또는 가우스 기호).
- \(f(46)\) 계산:
- \(3x – 2 = 46\) 을 만족하는 자연수 \(x\)를 구합니다.
- 구한 \(x\)에 대해 \(f(46) = \lfloor \sqrt{x} \rfloor\) 를 계산합니다.
- \(f(31)\) 계산:
- \(3x – 2 = 31\) 을 만족하는 자연수 \(x\)를 구합니다.
- 구한 \(x\)에 대해 \(f(31) = \lfloor \sqrt{x} \rfloor\) 를 계산합니다.
- 최종 계산: \(f(46) – f(31)\) 값을 계산합니다.
핵심 개념:
- 함수 정의의 정확한 이해: \(f(\cdot)\) 안의 값과 실제 계산에 사용되는 \(x\) 사이의 관계 파악.
- “\(\sqrt{x}\) 이하의 가장 큰 자연수”: \(\sqrt{x}\)의 정수 부분, 또는 바닥 함수 \(\lfloor \sqrt{x} \rfloor\).
- 제곱근 값 추정: \(n^2 \le x < (n+1)^2\) 이면 \(\lfloor \sqrt{x} \rfloor = n\).
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(f(46)\) 계산 – \(x\) 값 찾기
\(f(46)\) 값을 구하기 위해, 먼저 \(3x – 2 = 46\) 을 만족하는 자연수 \(x\)를 찾습니다.
$$ 3x – 2 = 46 $$
양변에 2를 더합니다:
$$ 3x = 46 + 2 = 48 $$
양변을 3으로 나눕니다:
$$ x = \frac{48}{3} = 16 $$
따라서 \(f(46)\) 계산에 사용될 \(x\) 값은 16입니다.
Step 2: \(f(46)\) 계산 – 값 구하기
함수의 정의에 따라, \(f(46)\)는 \(x=16\)일 때 \(\sqrt{x}\) 이하의 가장 큰 자연수입니다.
즉, \(f(46) = \lfloor \sqrt{16} \rfloor\) 입니다.
\(\sqrt{16} = 4\) 이므로,
$$ f(46) = \lfloor 4 \rfloor = 4 $$
Step 3: \(f(31)\) 계산 – \(x\) 값 찾기
\(f(31)\) 값을 구하기 위해, 먼저 \(3x – 2 = 31\) 을 만족하는 자연수 \(x\)를 찾습니다.
$$ 3x – 2 = 31 $$
양변에 2를 더합니다:
$$ 3x = 31 + 2 = 33 $$
양변을 3으로 나눕니다:
$$ x = \frac{33}{3} = 11 $$
따라서 \(f(31)\) 계산에 사용될 \(x\) 값은 11입니다.
Step 4: \(f(31)\) 계산 – 값 구하기
함수의 정의에 따라, \(f(31)\)는 \(x=11\)일 때 \(\sqrt{x}\) 이하의 가장 큰 자연수입니다.
즉, \(f(31) = \lfloor \sqrt{11} \rfloor\) 입니다.
\( \sqrt{11} \) 의 값을 추정합니다. \(3^2 = 9\) 이고 \(4^2 = 16\) 이므로,
$$ 9 < 11 < 16 $$
각 변에 양의 제곱근을 취하면,
$$ \sqrt{9} < \sqrt{11} < \sqrt{16} $$
$$ 3 < \sqrt{11} < 4 $$
따라서 \(\sqrt{11}\)은 3.xxx… 와 같은 값입니다.
\( \sqrt{11} \) 이하의 가장 큰 자연수는 3입니다.
$$ f(31) = \lfloor \sqrt{11} \rfloor = 3 $$
Step 5: 최종 계산 \(f(46) – f(31)\)
Step 2와 Step 4에서 구한 값을 이용하여 계산합니다.
$$ f(46) = 4 $$
$$ f(31) = 3 $$
따라서,
$$ f(46) – f(31) = 4 – 3 = 1 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 새로운 함수 정의를 이해하고 적용하는 능력을 평가합니다.
- 함수 입력값과 계산 변수의 관계: 함수 \(f(k)\)의 값을 구할 때, \(k\)가 \(3x-2\)와 같다고 두고 먼저 \(x\)를 구해야 함을 인지하는 것이 중요합니다.
- “\(\sqrt{x}\) 이하의 가장 큰 자연수”: 이는 \(\sqrt{x}\)의 정수 부분을 구하는 것과 같으며, 기호로는 \(\lfloor \sqrt{x} \rfloor\) 로 나타냅니다. 이 값을 구하기 위해서는 \(\sqrt{x}\)가 어떤 두 연속된 정수 사이에 있는지 파악해야 합니다 (\(n \le \sqrt{x} < n+1\) 이면 \(\lfloor \sqrt{x} \rfloor = n\)).
- 제곱수 활용: \(\sqrt{x}\)의 정수 부분을 찾기 위해 \(x\)보다 작거나 같은 가장 큰 완전제곱수를 찾는 것이 유용합니다. \(n^2 \le x < (n+1)^2\) 이면 \(\lfloor \sqrt{x} \rfloor = n\) 입니다.
문제에서 주어진 정의를 단계별로 차분히 따라가며 계산하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
\(f(46) = 4\) 이고 \(f(31) = 3\) 이므로, \(f(46) – f(31) = 4 – 3 = 1\) 입니다.
따라서 정답은 1 입니다.