📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 식 \( \sqrt{x+13} – \sqrt{78-y} \) 가 가장 작은 정수가 되도록 하는 자연수 \(x, y\)를 찾고, 그 합 \(x+y\)를 구하는 문제입니다.
핵심 전략은 다음과 같습니다.
- 정수 조건 분석: 식 \( \sqrt{x+13} – \sqrt{78-y} \) 가 정수가 되려면, 각 제곱근 항 \( \sqrt{x+13} \) 와 \( \sqrt{78-y} \) 가 어떤 값이어야 할지 생각합니다. 일반적으로 두 무리수의 차가 정수가 될 수도 있지만, 자연수 \(x, y\) 조건 하에서 가장 작은 정수를 만들기 위해서는 각 제곱근 항이 정수(또는 0)가 되어야 한다고 가정하고 푸는 것이 일반적입니다.
- 즉, \( x+13 \) 은 완전제곱수여야 합니다. \(x\)가 자연수(\(x \ge 1\))이므로 \(x+13 \ge 14\) 입니다. 따라서 \(\sqrt{x+13}\)은 \(\sqrt{14}\) 이상인 정수 (\(N_1\))입니다.
- \( 78-y \) 는 0 또는 완전제곱수여야 합니다. \(y\)가 자연수(\(y \ge 1\))이므로 \(78-y \le 77\) 입니다. 따라서 \(\sqrt{78-y}\)는 \(\sqrt{77}\) 이하인 0 또는 양의 정수 (\(N_2\))입니다.
- 최소 정수 조건: \( N_1 – N_2 \) 가 가장 작은 정수가 되려면, \( N_1 = \sqrt{x+13} \) 은 가능한 가장 작은 정수여야 하고, \( N_2 = \sqrt{78-y} \) 는 가능한 가장 큰 정수여야 합니다.
- \(x\) 값 찾기: \( N_1 \) 이 최소가 되도록, \(x+13\) 이 14 이상인 가장 작은 완전제곱수가 되게 하는 자연수 \(x\)를 찾습니다.
- \(y\) 값 찾기: \( N_2 \) 가 최대가 되도록, \(78-y\) 가 77 이하인 가장 큰 (0 또는 양의) 완전제곱수가 되게 하는 자연수 \(y\)를 찾습니다.
- \(x+y\) 계산: 찾은 \(x\)와 \(y\)의 합을 구합니다.
핵심 개념:
- \( \sqrt{N} \) 이 0 또는 자연수 \(\iff\) \(N\)은 0 또는 완전제곱수 (단, N \( \ge 0\))
- \( A – B \) 가 최소가 되려면, \(A\)는 최소, \(B\)는 최대여야 한다.
- 완전제곱수: \(0^2=0, 1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, …, 8^2=64, 9^2=81, …\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 조건 설정
\( \sqrt{x+13} = N_1 \) ( \(N_1\)은 \(\sqrt{14}\) 이상인 정수)
\( \sqrt{78-y} = N_2 \) ( \(N_2\)는 \(0 \le N_2 \le \sqrt{77}\)인 정수)
목표: \( N_1 – N_2 \) 가 최소가 되도록 하는 자연수 \(x, y\) 찾기.
이를 위해 \(N_1\)은 최소화, \(N_2\)는 최대화해야 합니다.
Step 2: 최소 \(N_1\) 및 해당 \(x\) 찾기
\( N_1 = \sqrt{x+13} \) 이 최소 정수가 되려면, \( x+13 \) 이 14 이상인 가장 작은 완전제곱수여야 합니다.
14 이상인 완전제곱수는 16, 25, 36, … 입니다.
이 중 가장 작은 것은 16입니다.
따라서 \( x+13 = 16 \) 이어야 합니다.
$$ x = 16 – 13 = 3 $$
\(x=3\)은 자연수 조건을 만족합니다. 이때 \( N_1 = \sqrt{16} = 4 \) 입니다.
Step 3: 최대 \(N_2\) 및 해당 \(y\) 찾기
\( N_2 = \sqrt{78-y} \) 가 최대 정수가 되려면, \( 78-y \) 가 77 이하인 가장 큰 (0 또는 양의) 완전제곱수여야 합니다.
77 이하의 완전제곱수는 …, 36, 49, 64 입니다. (\(9^2=81\)은 77보다 큽니다)
이 중 가장 큰 것은 64입니다.
따라서 \( 78-y = 64 \) 이어야 합니다.
$$ y = 78 – 64 = 14 $$
\(y=14\)는 자연수 조건을 만족합니다. 이때 \( N_2 = \sqrt{64} = 8 \) 입니다.
Step 4: \(x+y\) 값 계산
식 \( \sqrt{x+13} – \sqrt{78-y} \) 가 가장 작은 정수(\(4-8=-4\))가 되도록 하는 자연수 \(x, y\)는 각각 \(x=3\), \(y=14\) 입니다.
문제에서 요구하는 값은 \(x+y\) 입니다.
$$ x + y = 3 + 14 = 17 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 두 개의 제곱근 항의 차가 최소 정수가 되도록 하는 조건을 해석하는 문제입니다.
- 정수 조건: 각 제곱근 항이 정수가 되어야 함을 파악합니다. (\( \sqrt{N} \) 이 정수 \(\iff\) \(N\)은 0 또는 완전제곱수)
- 최소/최대 조건: \(A – B\)를 최소화하려면 \(A\)를 최소화하고 \(B\)를 최대화해야 합니다.
- 완전제곱수 찾기: 주어진 범위 내에서 가장 가깝거나 조건에 맞는 완전제곱수를 찾는 것이 중요합니다.
- \( \sqrt{x+13} \): \(x+13 \ge 14\) 이므로 14 이상인 가장 작은 제곱수 16을 찾습니다.
- \( \sqrt{78-y} \): \(78-y \le 77\) 이므로 77 이하인 가장 큰 제곱수 64를 찾습니다.
- 방정식 풀이 및 검증: 각 조건을 만족하는 \(x, y\)를 구하고, 이들이 자연수 조건을 만족하는지 확인합니다.
조건을 정확히 해석하고, 완전제곱수와 관련된 개념을 이용하여 각 변수를 결정하는 것이 핵심입니다.
✅ 최종 정답
주어진 식이 가장 작은 정수가 되도록 하는 자연수 \(x\)는 3이고, \(y\)는 14입니다. 따라서 \(x+y = 3 + 14 = 17\) 입니다.