📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 \(p\)의 범위(\(6 < p < 7\))와 자연수 \(n\)의 양의 제곱근이 \(3+p\)라는 조건을 이용하여, 가능한 자연수 \(n\) 중에서 가장 큰 값을 찾는 문제입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 조건 해석: “n의 양의 제곱근이 \(3+p\)이다”라는 문장을 수식으로 표현합니다 (\( \sqrt{n} = 3+p \)).
- 부등식 활용: 주어진 \(p\)의 범위 (\(6 < p < 7\))를 이용하여 \(3+p\)의 범위를 구합니다. 이는 부등식의 각 변에 3을 더함으로써 얻을 수 있습니다.
- \(\sqrt{n}\)의 범위 설정: \( \sqrt{n} = 3+p \) 이므로, Step 2에서 구한 \(3+p\)의 범위가 곧 \(\sqrt{n}\)의 범위가 됩니다.
- \(n\)의 범위 구하기: \(\sqrt{n}\)의 범위를 이용하여 \(n\)의 범위를 구합니다. 부등식의 각 변을 제곱하여 얻을 수 있습니다.
- 가장 큰 자연수 \(n\) 찾기: 계산된 \(n\)의 범위 내에서 가장 큰 자연수를 찾습니다.
핵심 개념 및 성질:
- 양의 제곱근 정의: \(A\)의 양의 제곱근이 \(k\)이면 \(\sqrt{A} = k\) (단, \(A \ge 0, k \ge 0\))
- 부등식의 성질:
- \(a < b\) 이면 \(a+c < b+c\)
- \(0 < a < b\) 이면 \(0 < a^2 < b^2\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 문제 조건 수식화
자연수 \(n\)의 양의 제곱근이 \(3+p\)라고 했으므로, 다음 등식이 성립합니다.
$$ \sqrt{n} = 3+p $$
Step 2: \(3+p\)의 범위 구하기
주어진 \(p\)의 범위는 \(6 < p < 7\) 입니다.
이 부등식의 각 변에 3을 더하여 \(3+p\)의 범위를 구합니다.
$$ 6 + 3 < p + 3 < 7 + 3 $$
$$ 9 < 3+p < 10 $$
Step 3: \(\sqrt{n}\)의 범위 설정
Step 1에서 \( \sqrt{n} = 3+p \) 이고, Step 2에서 \( 9 < 3+p < 10 \) 이므로, 이 두 결과를 결합하면 \(\sqrt{n}\)의 범위를 알 수 있습니다.
$$ 9 < \sqrt{n} < 10 $$
Step 4: \(n\)의 범위 구하기
부등식 \( 9 < \sqrt{n} < 10 \) 의 각 변은 모두 양수이므로, 각 변을 제곱해도 부등호의 방향은 그대로 유지됩니다.
$$ 9^2 < (\sqrt{n})^2 < 10^2 $$
제곱을 계산합니다.
$$ 81 < n < 100 $$
Step 5: 가장 큰 자연수 \(n\) 찾기
부등식 \( 81 < n < 100 \) 를 만족시키는 자연수 \(n\)은 82, 83, 84, ..., 98, 99 입니다.
이 중에서 가장 큰 자연수 \(n\)은 99입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 제곱근의 정의와 부등식의 성질을 이용하여 미지수의 범위를 추론하는 문제입니다.
- 조건 변환: “A의 양의 제곱근이 k”라는 조건을 \(\sqrt{A}=k\)로 정확히 변환합니다.
- 부등식 연산: 주어진 부등식에 상수를 더하거나 빼거나, 양수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향이 어떻게 변하는지 (또는 유지되는지) 알아야 합니다.
- 제곱과 부등식: 부등식의 모든 항이 양수일 경우, 각 항을 제곱해도 부등호 방향은 유지됩니다. 이를 이용하여 제곱근을 포함한 부등식을 풀 수 있습니다.
- 범위 내 정수 찾기: 최종적으로 얻어진 부등식의 범위 내에서 문제에서 요구하는 조건(자연수, 가장 큰 값 등)을 만족하는 수를 찾습니다.
각 단계에서 부등식을 정확하게 다루는 것이 중요하며, 특히 제곱할 때는 모든 항이 양수인지 확인하는 것이 필요합니다.
✅ 최종 정답
주어진 조건을 만족시키는 자연수 \(n\)의 범위는 \(81 < n < 100\) 이므로, 이 범위 내에서 가장 큰 자연수 \(n\)은 99입니다.
따라서 정답은 99 입니다.