📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 반지름이 7cm이고 중심각이 90°인 부채꼴 AOB 내부의 점 P, Q와 관련된 선분 AQ의 길이를 구하는 문제입니다. 점 P는 OA 위에 있고 OP=6cm이며, 점 Q는 P를 지나며 OA에 수직인 직선과 호 AB의 교점입니다. 이 문제는 도형의 성질과 피타고라스 정리를 활용하여 해결할 수 있습니다.
- 보조선 및 도형 파악: 점 O와 Q를 연결하여 반지름 OQ를 그립니다. 선분 PQ는 OA에 수직이므로, 삼각형 OPQ와 삼각형 APQ는 모두 직각삼각형입니다.
- 길이 정보 활용:
- 부채꼴의 반지름은 7cm이므로 \(\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OQ} = 7\) cm 입니다.
- \(\overline{OP} = 6\) cm 입니다.
- 피타고라스 정리 1단계: 직각삼각형 OPQ에서 빗변 OQ와 밑변 OP의 길이를 이용하여 높이 QP의 길이를 구합니다.
- 선분 PA 길이 계산: \(\overline{PA} = \overline{OA} – \overline{OP}\) 를 계산합니다.
- 피타고라스 정리 2단계: 직각삼각형 APQ에서 밑변 PA와 높이 QP의 길이를 이용하여 빗변 AQ의 길이를 구합니다.
핵심 공식:
- 원의 반지름은 중심에서 원 위의 점까지의 거리가 일정하다.
- 피타고라스 정리: 직각삼각형에서 \( (\text{빗변})^2 = (\text{밑변})^2 + (\text{높이})^2 \)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 직각삼각형 OPQ에서 변 QP의 길이 구하기
점 Q는 부채꼴의 호 AB 위의 점이므로, 중심 O에서 점 Q까지의 거리 \(\overline{OQ}\)는 부채꼴의 반지름과 같습니다.
$$ \overline{OQ} = 7 \, (\text{cm}) $$
삼각형 OPQ는 \(\angle OPQ = 90^\circ\)인 직각삼각형입니다 (문제 조건에서 PQ는 OA에 수직).
이 삼각형에서 빗변은 \(\overline{OQ} = 7\), 밑변은 \(\overline{OP} = 6\) 입니다. 높이 \(\overline{QP}\)를 구하기 위해 피타고라스 정리를 적용합니다.
$$ \overline{OQ}^2 = \overline{OP}^2 + \overline{QP}^2 $$
$$ 7^2 = 6^2 + \overline{QP}^2 $$
$$ 49 = 36 + \overline{QP}^2 $$
$$ \overline{QP}^2 = 49 – 36 = 13 $$
길이는 양수이므로,
$$ \overline{QP} = \sqrt{13} \, (\text{cm}) $$
Step 2: 선분 PA의 길이 구하기
점 P는 선분 OA 위에 있습니다. \(\overline{OA}\)는 부채꼴의 반지름이므로 \(\overline{OA} = 7\) cm 입니다.
주어진 조건에서 \(\overline{OP} = 6\) cm 입니다.
따라서 선분 PA의 길이는 다음과 같습니다.
$$ \overline{PA} = \overline{OA} – \overline{OP} = 7 – 6 = 1 \, (\text{cm}) $$
Step 3: 직각삼각형 APQ에서 변 AQ의 길이 구하기
삼각형 APQ는 \(\angle APQ = 90^\circ\)인 직각삼각형입니다 (PQ는 OA에 수직).
이 삼각형에서 밑변은 \(\overline{PA} = 1\), 높이는 \(\overline{QP} = \sqrt{13}\) 입니다. 빗변 \(\overline{AQ}\)의 길이를 구하기 위해 피타고라스 정리를 적용합니다.
$$ \overline{AQ}^2 = \overline{PA}^2 + \overline{QP}^2 $$
$$ \overline{AQ}^2 = 1^2 + (\sqrt{13})^2 $$
$$ \overline{AQ}^2 = 1 + 13 = 14 $$
길이는 양수이므로,
$$ \overline{AQ} = \sqrt{14} \, (\text{cm}) $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 부채꼴, 원의 성질(반지름), 수직 조건, 그리고 피타고라스 정리를 복합적으로 활용하는 기하 문제입니다.
- 도형 요소 파악: 문제에 주어진 도형(부채꼴)과 점들의 위치 관계, 수직 조건 등을 통해 직각삼각형을 찾아내는 것이 중요합니다. 보조선(OQ)을 긋는 것이 문제 해결의 실마리가 됩니다.
- 반지름 활용: 원이나 부채꼴의 반지름은 중심에서 호 또는 원 위의 점까지의 거리가 일정하다는 성질을 이용하여 필요한 길이를 파악합니다 (\(\overline{OQ} = 7\)).
- 피타고라스 정리의 연쇄 적용: 첫 번째 직각삼각형(OPQ)에서 피타고라스 정리를 이용하여 구한 변의 길이(\(\overline{QP}\))를, 두 번째 직각삼각형(APQ)에서 다시 피타고라스 정리를 적용하는 데 사용합니다.
도형의 성질을 이해하고 적절한 직각삼각형을 찾아 피타고라스 정리를 적용하는 능력이 중요합니다.
✅ 최종 정답
선분 AQ의 길이는 \( \sqrt{14} \, \text{cm} \) 입니다.