📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 수직선 위에 그려진 한 변의 길이가 1인 정사각형과 컴퍼스를 이용해 만든 호를 보고, 특정 점(A, B, C, D, E)의 좌표를 찾는 문제입니다. 핵심은 정사각형의 대각선 길이를 구하고, 이 길이를 반지름으로 하여 각 점의 기준점(호의 중심)으로부터의 위치를 계산하는 것입니다.
- 정사각형 대각선 길이 계산: 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이를 피타고라스 정리를 이용하여 구합니다. 이 길이가 컴퍼스 호의 반지름이 됩니다.
- 각 점의 기준점(중심) 확인: 점 A, B, C, D, E 각각에 해당하는 호가 어떤 정수 좌표에서 시작되었는지(컴퍼스의 중심점) 그림을 통해 파악합니다.
- 좌표 계산: 각 점의 좌표는 ‘기준점(중심)의 좌표 ± 대각선 길이(반지름)’로 계산됩니다. 호가 기준점에서 왼쪽으로 그려졌으면 빼고, 오른쪽으로 그려졌으면 더합니다.
- 보기와 비교: 계산된 각 점의 좌표와 보기의 좌표를 비교하여 옳은 것을 찾습니다.
피타고라스 정리:
직각삼각형에서 빗변의 길이를 \(c\), 다른 두 변의 길이를 \(a, b\)라고 할 때,
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$
한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이(\(d\)):
$$ 1^2 + 1^2 = d^2 \implies d^2 = 2 \implies d = \sqrt{2} $$
따라서, 컴퍼스 호의 반지름 길이는 \(\sqrt{2}\) 입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 정사각형 대각선 길이 계산
문제에서 주어진 정사각형은 높이(즉, 한 변의 길이)가 1입니다.
피타고라스 정리를 이용하여 대각선의 길이를 \(d\)라고 하면,
$$ 1^2 + 1^2 = d^2 $$
$$ 2 = d^2 $$
따라서 대각선의 길이는 \(d = \sqrt{2}\) 입니다. 이 길이가 수직선 위에서 그려진 호의 반지름 길이가 됩니다.
Step 2: 점 A의 좌표 계산
점 A를 만드는 호는 수직선 위의 점 \(-2\)를 중심으로 하여 왼쪽으로 그려졌습니다.
따라서 점 A의 좌표는 기준점 \(-2\)에서 반지름 \(\sqrt{2}\)만큼 왼쪽으로 이동한 위치입니다.
$$ A = (\text{중심}) – (\text{반지름}) = -2 – \sqrt{2} $$
보기 ① A(\(-3 + \sqrt{2}\))와 다릅니다.
Step 3: 점 B의 좌표 계산
점 B를 만드는 호는 수직선 위의 점 \(-1\)을 중심으로 하여 왼쪽으로 그려졌습니다.
따라서 점 B의 좌표는 기준점 \(-1\)에서 반지름 \(\sqrt{2}\)만큼 왼쪽으로 이동한 위치입니다.
$$ B = (\text{중심}) – (\text{반지름}) = -1 – \sqrt{2} $$
보기 ② B(\(-2 + \sqrt{2}\))와 다릅니다.
Step 4: 점 C의 좌표 계산
점 C를 만드는 호는 수직선 위의 점 \(-3\)을 중심으로 하여 오른쪽으로 그려졌습니다.
따라서 점 C의 좌표는 기준점 \(-3\)에서 반지름 \(\sqrt{2}\)만큼 오른쪽으로 이동한 위치입니다.
$$ C = (\text{중심}) + (\text{반지름}) = -3 + \sqrt{2} $$
보기 ③ C(\(-2 + \sqrt{2}\))와 다릅니다.
Step 5: 점 D의 좌표 계산
점 D를 만드는 호는 수직선 위의 점 \(1\)을 중심으로 하여 왼쪽으로 그려졌습니다.
따라서 점 D의 좌표는 기준점 \(1\)에서 반지름 \(\sqrt{2}\)만큼 왼쪽으로 이동한 위치입니다.
$$ D = (\text{중심}) – (\text{반지름}) = 1 – \sqrt{2} $$
보기 ④ D(\(1 – \sqrt{2}\))와 일치합니다.
Step 6: 점 E의 좌표 계산
점 E를 만드는 호는 수직선 위의 점 \(0\)을 중심으로 하여 오른쪽으로 그려졌습니다.
따라서 점 E의 좌표는 기준점 \(0\)에서 반지름 \(\sqrt{2}\)만큼 오른쪽으로 이동한 위치입니다.
$$ E = (\text{중심}) + (\text{반지름}) = 0 + \sqrt{2} = \sqrt{2} $$
보기 ⑤ E(\(\sqrt{2} – 1\))과 다릅니다.
Step 7: 최종 결론
각 점의 좌표를 계산하여 보기와 비교한 결과, 점 D의 좌표를 올바르게 나타낸 것은 보기 ④입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 수직선 위에서 무리수 좌표를 찾는 방법을 시각적으로 보여주는 대표적인 예시입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이: 피타고라스 정리에 의해 \(\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\) 입니다. 이 길이는 작도에서 반지름으로 사용됩니다.
- 컴퍼스를 이용한 작도와 좌표: 수직선 위의 한 점(\(p\))을 중심으로 하고 반지름이 \(r\)인 원을 그려 수직선과 만나는 점의 좌표는 \(p+r\) (오른쪽) 또는 \(p-r\) (왼쪽)이 됩니다.
- 좌표 계산: 그림에서 각 호의 중심점(기준점)이 어느 정수 좌표인지 정확히 파악하고, 호가 그려진 방향(왼쪽 또는 오른쪽)에 따라 반지름(\(\sqrt{2}\))을 빼거나 더하여 최종 좌표를 구합니다.
그림을 정확히 해석하여 각 호의 중심점과 방향을 파악하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
④