중3수학 - 유형 - 12249274 - 29번

무리수 사이의 정수 합 구하기 문제 풀이

문제 이해 및 풀이 전략

이 문제는 두 무리수 $\sqrt{3} - 1$ 과 $2 + \sqrt{5}$ 사이에 있는 모든 정수의 합을 구하는 문제입니다. 이를 해결하기 위해서는 각 무리수의 대략적인 값 또는 범위를 파악하여 두 수 사이에 어떤 정수들이 포함되는지 알아내야 합니다.

각 무리수 값 추정: $\sqrt{3}$ 과 $\sqrt{5}$ 의 값이 어떤 연속된 두 정수 사이에 있는지 범위를 찾습니다.
주어진 식의 범위 계산: 추정된 제곱근의 범위를 이용하여 $\sqrt{3} - 1$ 과 $2 + \sqrt{5}$ 각각의 값의 범위를 부등식으로 계산합니다.
사이의 정수 찾기: 두 수의 범위를 바탕으로, 그 사이에 들어가는 정수들을 모두 찾습니다.
정수의 합 계산: 찾은 모든 정수들을 더하여 최종 답을 구합니다.

제곱근 값 추정 및 부등식 성질:

$a^{2} < n < (a + 1)^{2}$ 이면 $a < \sqrt{n} < a + 1$ ( $a$ 는 정수)
$a < x < b$ 이면 $a + c < x + c < b + c$
$a < x < b$ 이면 $a - c < x - c < b - c$

단계별 풀이 과정

Step 1: $\sqrt{3}$ 의 범위 추정

$1^{2} = 1$ 이고 $2^{2} = 4$ 이므로, $1 < 3 < 4$ 입니다.

각 변에 양의 제곱근을 취하면 $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$ 입니다.

따라서 $1 < \sqrt{3} < 2$ 입니다.

Step 2: $\sqrt{3} - 1$ 의 범위 추정

Step 1에서 구한 부등식 $1 < \sqrt{3} < 2$ 의 각 변에서 1을 뺍니다.

$1 - 1 < \sqrt{3} - 1 < 2 - 1$

정리하면 $0 < \sqrt{3} - 1 < 1$ 입니다.

즉, $\sqrt{3} - 1$ 은 0과 1 사이의 값입니다.

Step 3: $\sqrt{5}$ 의 범위 추정

$2^{2} = 4$ 이고 $3^{2} = 9$ 이므로, $4 < 5 < 9$ 입니다.

각 변에 양의 제곱근을 취하면 $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ 입니다.

따라서 $2 < \sqrt{5} < 3$ 입니다.

Step 4: $2 + \sqrt{5}$ 의 범위 추정

Step 3에서 구한 부등식 $2 < \sqrt{5} < 3$ 의 각 변에 2를 더합니다.

$2 + 2 < 2 + \sqrt{5} < 2 + 3$

정리하면 $4 < 2 + \sqrt{5} < 5$ 입니다.

즉, $2 + \sqrt{5}$ 는 4와 5 사이의 값입니다.

Step 5: 두 수 사이의 정수 찾기

우리는 다음 두 범위를 알게 되었습니다.

$0 < \sqrt{3} - 1 < 1$
$4 < 2 + \sqrt{5} < 5$

따라서, $\sqrt{3} - 1$ 과 $2 + \sqrt{5}$ 사이에 있는 정수 $n$ 은 다음 부등식을 만족해야 합니다.

$\sqrt{3} - 1 < n < 2 + \sqrt{5}$

즉, $0. xxx < n < 4. xxx$ 를 만족하는 정수 $n$ 을 찾아야 합니다.

이 범위에 속하는 정수는 1, 2, 3, 4 입니다.

Step 6: 정수의 합 계산

Step 5에서 찾은 모든 정수의 합을 구합니다.

$1 + 2 + 3 + 4 = 10$

마무리 개념 정리

이 문제는 두 무리수 사이에 있는 정수를 찾고 그 합을 계산하는 문제입니다. 해결 과정에서 사용된 핵심 개념은 다음과 같습니다.

제곱근 값 추정: 제곱수를 이용하여 제곱근의 정수 부분을 찾고, 그 범위를 $a < \sqrt{n} < a + 1$ 형태로 나타냅니다.
부등식의 성질 활용: 알아낸 제곱근의 범위에 상수를 더하거나 빼서 주어진 무리수 식 전체의 범위를 계산합니다.
구간 내 정수 식별: 계산된 두 무리수의 범위( $x_{1} < 수1 < x_{1} + 1$ , $x_{2} < 수2 < x_{2} + 1$ )를 보고, 그 사이에 어떤 정수들이 포함되는지 결정합니다.

각 무리수의 대략적인 위치를 파악하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.

중3수학 – 유형 – 12249274 – 29번

Bygommath

문제 이해 및 풀이 전략

단계별 풀이 과정

마무리 개념 정리

최종 정답

gommath

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