📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 네 개의 무리수(\(\sqrt{13}, -3+\sqrt{3}, 2-\sqrt{8}, -1+\sqrt{7}\))가 각각 수직선 위의 네 점 A, B, C, D 중 어디에 대응하는지 찾고, 이 중에서 가장 큰 수와 가장 작은 수를 찾는 문제입니다.
- 각 무리수 값 추정: 각 식에 포함된 제곱근(\(\sqrt{13}, \sqrt{3}, \sqrt{8}, \sqrt{7}\))의 범위를 파악하여, 전체 식의 값이 대략 어느 범위(어떤 두 정수 사이)에 있는지 부등식을 이용해 추정합니다.
- 수직선 점 위치 확인: 수직선에서 점 A, B, C, D가 각각 어떤 정수 구간 사이에 있는지 확인합니다. (A: -2 ~ -1, B: -1 ~ 0, C: 1 ~ 2, D: 3 ~ 4)
- 대응점 및 대소 관계 파악: 각 무리수의 추정된 값 범위를 수직선 상의 점 위치와 비교하여 대응점을 찾습니다. 수직선에서 오른쪽에 있을수록 큰 수이므로, 가장 오른쪽에 있는 점(D)에 대응하는 수가 가장 큰 수이고, 가장 왼쪽에 있는 점(A)에 대응하는 수가 가장 작은 수입니다.
- 가장 큰 수와 작은 수 결정: 대응 관계를 바탕으로 가장 큰 수와 가장 작은 수를 확정합니다.
제곱근 값 추정:
- \(a^2 < n < (a+1)^2\) 이면 \(a < \sqrt{n} < a+1\) (\(a\)는 정수)
부등식 성질:
- \(a < x < b \implies a+c < x+c < b+c\)
- \(a < x < b \implies -b < -x < -a\) (음수 곱할 시 부등호 방향 변경)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(\sqrt{13}\)의 범위 추정 및 대응점 찾기
\(3^2 = 9\)이고 \(4^2 = 16\)이므로, \(9 < 13 < 16\) 입니다.
따라서 \(3 < \sqrt{13} < 4\) 입니다.
이 값은 3과 4 사이에 있습니다. 수직선에서 3과 4 사이의 점은 D입니다.
따라서, D에 대응하는 수는 \(\sqrt{13}\) 입니다.
Step 2: \(-3+\sqrt{3}\)의 범위 추정 및 대응점 찾기
\(1^2 = 1\)이고 \(2^2 = 4\)이므로, \(1 < \sqrt{3} < 2\) 입니다.
각 변에 -3을 더하면:
$$ -3+1 < -3+\sqrt{3} < -3+2 $$
$$ -2 < -3+\sqrt{3} < -1 $$
이 값은 -2와 -1 사이에 있습니다. 수직선에서 -2와 -1 사이의 점은 A입니다.
따라서, A에 대응하는 수는 \(-3+\sqrt{3}\) 입니다.
Step 3: \(2-\sqrt{8}\)의 범위 추정 및 대응점 찾기
\(2^2 = 4\)이고 \(3^2 = 9\)이므로, \(4 < 8 < 9\) 입니다. 따라서 \(2 < \sqrt{8} < 3\) 입니다.
각 변에 -1을 곱하면 부등호 방향이 바뀌어 \(-3 < -\sqrt{8} < -2\) 입니다.
각 변에 2를 더하면:
$$ 2-3 < 2-\sqrt{8} < 2-2 $$
$$ -1 < 2-\sqrt{8} < 0 $$
이 값은 -1과 0 사이에 있습니다. 수직선에서 -1과 0 사이의 점은 B입니다.
따라서, B에 대응하는 수는 \(2-\sqrt{8}\) 입니다.
Step 4: \(-1+\sqrt{7}\)의 범위 추정 및 대응점 찾기
\(2^2 = 4\)이고 \(3^2 = 9\)이므로, \(4 < 7 < 9\) 입니다. 따라서 \(2 < \sqrt{7} < 3\) 입니다.
각 변에 -1을 더하면:
$$ -1+2 < -1+\sqrt{7} < -1+3 $$
$$ 1 < -1+\sqrt{7} < 2 $$
이 값은 1과 2 사이에 있습니다. 수직선에서 1과 2 사이의 점은 C입니다.
따라서, C에 대응하는 수는 \(-1+\sqrt{7}\) 입니다.
Step 5: 가장 큰 수와 가장 작은 수 찾기
수직선 위의 점들은 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 커집니다 (A < B < C < D).
- 가장 오른쪽에 있는 점은 D이고, D에 대응하는 수는 \(\sqrt{13}\)입니다. 따라서 가장 큰 수는 \(\sqrt{13}\)입니다.
- 가장 왼쪽에 있는 점은 A이고, A에 대응하는 수는 \(-3+\sqrt{3}\)입니다. 따라서 가장 작은 수는 \(-3+\sqrt{3}\)입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 무리수의 값을 추정하여 수직선 상의 위치를 파악하고, 이를 바탕으로 여러 무리수들의 대소 관계를 판단하는 문제입니다. 핵심 과정은 다음과 같습니다.
- 값 추정: 제곱근의 범위를 정수 단위로 파악하고(\(a < \sqrt{n} < a+1\)), 부등식의 성질을 이용하여 전체 식의 범위를 구합니다.
- 위치 파악: 계산된 범위(\(k < \text{수} < k+1\))를 통해 해당 수가 수직선의 어느 정수 구간에 위치하는지 확인합니다.
- 대소 비교: 수직선 상에서 오른쪽에 위치할수록 큰 수임을 이용하여 대소 관계를 결정합니다. 가장 오른쪽 점이 최대값, 가장 왼쪽 점이 최소값에 해당합니다.
무리수의 대소 비교는 직접 계산하기 어려울 때, 이처럼 범위를 추정하여 수직선 상의 위치를 이용하는 것이 효과적입니다.
✅ 최종 정답
가장 큰 수: \(\sqrt{13}\), 가장 작은 수: \(-3+\sqrt{3}\)