📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 삼각형 ABC의 한 각 A에 대한 탄젠트 값(\(\tan A = -\sqrt{3}\))이 주어졌을 때, 다른 각 B, C를 포함하는 코사인(\(\cos\frac{B+C-2\pi}{2}\))의 값을 구하는 문제입니다.
핵심 전략은 다음과 같습니다.
- 각 A 구하기: 주어진 \(\tan A\) 값과 삼각형 내각의 조건(\(0 < A < \pi\))을 이용하여 각 A의 크기를 구합니다.
- 삼각형 내각의 합 이용: 삼각형 내각의 합이 \(\pi\) (\(A+B+C=\pi\)) 임을 이용하여 구하고자 하는 식의 \(B+C\) 부분을 \(A\)로 표현합니다.
- 삼각함수 각 변환 공식 적용: 코사인 안의 복잡한 각을 삼각함수의 성질(주기성, 음각 공식, 여각 공식 등)을 이용하여 간단한 형태로 변환합니다.
- 최종 값 계산: 변환된 식에 구해둔 각 A의 값을 대입하여 최종적인 삼각함수 값을 계산합니다.
핵심 공식 및 개념:
- 삼각형 내각의 합: \(A+B+C = \pi\)
- 탄젠트 값: \(\tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}\)
- 삼각함수 성질:
- 음각 공식: \(\cos(-x) = \cos x\)
- 각 변환 공식: \(\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x\)
- 특수각의 삼각비: \(\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 각 A의 크기 구하기
주어진 조건은 \(\tan A = -\sqrt{3}\) 입니다. 또한, A는 삼각형의 내각이므로 \(0 < A < \pi\) 입니다.
\(\tan x = \sqrt{3}\)을 만족하는 기본각은 \(\frac{\pi}{3}\)입니다. 탄젠트 함수는 주기가 \(\pi\)이고, 제2사분면과 제4사분면에서 음수 값을 가집니다.
범위 \(0 < A < \pi\) 내에서 \(\tan A\)가 음수인 경우는 제2사분면입니다.
따라서 A는 제2사분면에 있으며, 기준각 \(\frac{\pi}{3}\)을 이용하여 계산하면
$$ A = \pi – \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $$
이 값은 \(0 < A < \pi\) 범위를 만족합니다. 즉, \(A = \frac{2\pi}{3}\) 입니다.
Step 2: \(B+C\)를 \(A\)로 표현하기
삼각형 ABC의 내각의 합은 \(\pi\)이므로, \(A+B+C = \pi\) 입니다.
여기서 \(B+C\)에 대해 정리하면,
$$ B+C = \pi – A $$
Step 3: 구하고자 하는 식의 각(\(\frac{B+C-2\pi}{2}\)) 변형하기
구하고자 하는 식은 \(\cos\frac{B+C-2\pi}{2}\) 입니다.
Step 2에서 구한 \(B+C = \pi – A\)를 대입합니다.
$$ \frac{B+C-2\pi}{2} = \frac{(\pi – A) – 2\pi}{2} $$
분자를 간단히 합니다.
$$ = \frac{-\pi – A}{2} $$
분배하면,
$$ = -\frac{\pi}{2} – \frac{A}{2} $$
Step 4: 코사인 값 변형하기 (음각 공식)
구하고자 하는 식은 \(\cos(-\frac{\pi}{2} – \frac{A}{2})\)가 됩니다.
코사인의 음각 공식 \(\cos(-x) = \cos x\)를 적용합니다.
$$ \cos(-\frac{\pi}{2} – \frac{A}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{A}{2}) $$
Step 5: 코사인 값 변형하기 (각 변환 공식)
이제 \(\cos(\frac{\pi}{2} + \frac{A}{2})\)를 변형합니다.
각 변환 공식 \(\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x\)를 이용합니다. (여기서 \(x = \frac{A}{2}\))
$$ \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{A}{2}) = -\sin\left(\frac{A}{2}\right) $$
Step 6: 최종 값 계산
Step 5에서 구한 식 \(-\sin(\frac{A}{2})\)에 Step 1에서 구한 \(A = \frac{2\pi}{3}\)를 대입합니다.
$$ -\sin\left(\frac{A}{2}\right) = -\sin\left(\frac{1}{2} \times \frac{2\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) $$
특수각의 사인 값을 계산합니다: \(\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
따라서 최종 결과는 다음과 같습니다.
$$ -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 삼각형의 내각의 성질과 삼각함수의 여러 공식을 복합적으로 사용하는 문제입니다.
- 삼각형 내각의 합: \(A+B+C=\pi\)는 각 변환의 기초가 됩니다. 이를 통해 \(B+C\)를 \(A\)로 표현할 수 있습니다.
- 각 A 결정: \(\tan A\) 값과 A의 범위(\(0 < A < \pi\))를 이용하여 A의 정확한 값을 찾는 것이 중요합니다.
- 삼각함수 각 변환: 복잡한 각을 간단한 각으로 변환하기 위해 주기성, 음각 공식, 보각 공식, 여각 공식 등을 적절히 사용해야 합니다. 이 문제에서는 \(\cos(-x)=\cos x\)와 \(\cos(\frac{\pi}{2}+x)=-\sin x\)가 사용되었습니다.
단계적으로 각 변환 공식을 적용하여 최종적으로 계산 가능한 형태(\(-\sin(\frac{\pi}{3})\))로 만드는 과정이 핵심입니다.
✅ 최종 정답
①