📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 원에 내접하는 삼각형 ABC의 외접원 반지름(\(R = \sqrt{10}\))과 각 A, B, C 사이의 관계식(\(10\sin(A+B)\sin C = 9\))이 주어졌을 때, 변 c (각 C의 대변)의 길이를 구하는 문제입니다. 삼각형의 내각의 합 성질과 사인 법칙을 활용하여 문제를 해결할 수 있습니다.
- 삼각형 내각의 합 이용: 삼각형의 세 내각의 합이 \(\pi\) 라디안 (\(180^\circ\))임을 이용하여 (\(A+B+C = \pi\)), \(\sin(A+B)\)를 \(\sin C\)로 변환합니다.
- \(\sin C\) 값 구하기: 변환된 관계를 주어진 식에 대입하여 \(\sin^2 C\)의 값을 구하고, 이를 통해 \(\sin C\)의 값을 구합니다. (삼각형의 각이므로 \(\sin C > 0\))
- 사인 법칙 적용: 삼각형의 외접원 반지름 R과 특정 각(\(C\)), 그리고 그 각의 대변(\(c\)) 사이의 관계인 사인 법칙(\(\frac{c}{\sin C} = 2R\))을 이용합니다.
- 변 \(c\)의 길이 계산: 사인 법칙에 외접원 반지름 R과 계산된 \(\sin C\) 값을 대입하여 변 \(c\)의 길이를 구합니다.
핵심 공식 및 개념:
- 삼각형 내각의 합: \(A+B+C = \pi\)
- 삼각함수 각 변환: \(\sin(\pi – \theta) = \sin \theta\)
- 사인 법칙: 삼각형 ABC의 외접원 반지름을 R이라 할 때,
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(\sin(A+B)\)를 \(\sin C\)로 변환하기
삼각형 ABC의 내각의 합은 \(\pi\)이므로, \(A+B+C = \pi\) 입니다.
여기서 \(A+B\)에 대해 정리하면,
$$ A+B = \pi – C $$
이 관계를 이용하여 \(\sin(A+B)\)를 변환합니다.
$$ \sin(A+B) = \sin(\pi – C) $$
삼각함수 각 변환 공식 \(\sin(\pi – \theta) = \sin \theta\)에 의해,
$$ \sin(A+B) = \sin C $$
Step 2: \(\sin C\) 값 계산하기
주어진 식은 \(10\sin(A+B)\sin C = 9\) 입니다.
Step 1에서 구한 \(\sin(A+B) = \sin C\)를 이 식에 대입합니다.
$$ 10 (\sin C) \sin C = 9 $$
$$ 10 \sin^2 C = 9 $$
\(\sin^2 C\)에 대해 정리하면,
$$ \sin^2 C = \frac{9}{10} $$
따라서 \(\sin C = \pm \sqrt{\frac{9}{10}} = \pm \frac{3}{\sqrt{10}}\) 입니다.
C는 삼각형의 내각이므로 \(0 < C < \pi\) 입니다. 이 범위에서 \(\sin C\)는 항상 양수(\(\sin C > 0\))입니다.
그러므로 \(\sin C = \frac{3}{\sqrt{10}}\) 입니다.
Step 3: 사인 법칙 적용하기
문제에서 삼각형 ABC는 반지름의 길이가 \(R = \sqrt{10}\)인 원에 내접한다고 주어졌습니다.
사인 법칙에 따르면,
$$ \frac{c}{\sin C} = 2R $$
변 \(c\)의 길이를 구하기 위해 식을 정리하면,
$$ c = 2R \sin C $$
Step 4: 변 \(c\)의 길이 계산하기
Step 3에서 정리한 식에 주어진 외접원 반지름 \(R = \sqrt{10}\)과 Step 2에서 계산한 \(\sin C = \frac{3}{\sqrt{10}}\) 값을 대입합니다.
$$ c = 2 \times \sqrt{10} \times \frac{3}{\sqrt{10}} $$
\(\sqrt{10}\)이 약분되므로,
$$ c = 2 \times 3 = 6 $$
따라서 변 \(c\)의 길이는 6 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 원에 내접하는 삼각형의 성질과 삼각함수의 관계를 묻는 문제입니다. 해결에 사용된 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 삼각형 내각의 합: \(A+B+C = \pi\) 라는 성질을 이용하여 복잡한 각의 삼각함수(\(\sin(A+B)\))를 다른 각의 삼각함수(\(\sin C\))로 변환하는 데 사용됩니다. (\(\sin(\pi-C)=\sin C\))
- 사인 법칙: 삼각형의 각, 대변의 길이, 그리고 외접원의 반지름 사이의 관계를 나타내는 중요한 법칙입니다 (\(\frac{c}{\sin C}=2R\)). 외접원 반지름이 주어졌을 때 변의 길이를 구하거나, 변의 길이가 주어졌을 때 외접원 반지름을 구하는 데 유용하게 사용됩니다.
- 삼각함수 값의 부호: 삼각형의 내각은 \(0\)보다 크고 \(\pi\)보다 작으므로, 사인 값은 항상 양수(\(\sin C > 0\))라는 점을 이용하여 제곱근 계산 시 부호를 결정합니다.
주어진 조건을 차근차근 해석하고, 적절한 공식(내각 합, 각 변환, 사인 법칙)을 순서대로 적용하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
⑤