고1수학 – 유형 – 12238225 – 69번

Step 1: $x^2=X$로 치환하기

주어진 보기차식 $x^4–18x^2+81$에서 $x^2=X$로 치환합니다.

$$x^4–18x^2+81=(x^2{)}^2–18(x^2)+81=X^2–18X+81$$

Step 2: $X$에 대한 이차식 인수분해하기

$X^2–18X+81$은 완전제곱식 형태입니다.

$$X^2–18X+81=X^2–2(X)(9)+9^2=(X-9{)}^2$$

Step 3: 원래 변수 $x$로 되돌리기

Step 2의 결과에 $X=x^2$를 다시 대입합니다.

$$(X-9{)}^2=(x^2–9{)}^2$$

Step 4: 괄호 안 추가 인수분해하기 (합차 공식)

괄호 안의 식 $x^2–9$는 합차 공식으로 인수분해 가능합니다.

$$x^2–9=x^2–3^2=(x+3)(x-3)$$

Step 5: 전체 식 정리하기 (지수 법칙)

Step 4의 결과를 Step 3의 식에 대입합니다.

$$(x^2–9{)}^2=\{(x+3)(x-3){\}}^2$$

지수 법칙 $(AB{)}^n=A^n{B}^n$을 적용하여 정리합니다.

$$=(x+3{)}^2(x-3{)}^2$$

Step 6: 계수 비교 및 $a,b$ 값 결정

Step 5에서 얻은 최종 인수분해 결과 $(x+3{)}^2(x-3{)}^2$를 문제에서 주어진 형태 $(x+a{)}^2(x+b{)}^2$와 비교합니다.

두 식을 비교하면 $\{a,b\}=\{3,-3\}$ 임을 알 수 있습니다.

문제의 조건에서 $a>b$ 라고 했으므로, 다음과 같이 결정됩니다.

$$a=3,b=-3$$

Step 7: $a-b$ 값 계산

찾은 $a,b$ 값을 이용하여 $a-b$를 계산합니다.

$$a-b=3–(-3)=3+3=6$$