📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 다항식 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대해 \(f(x)f(x+1) = x^4 + 15x^2 + 64\)라는 관계식을 만족할 때, \(|f(1)|\)의 값을 구하는 문제입니다.
핵심 전략은 우변 \(x^4 + 15x^2 + 64\)를 인수분해하여 \(g(x)g(x+1)\) 꼴로 나타낸 후, \(f(x)\)를 추정하는 것입니다.
- 우변 인수분해 (보기차식): 우변 \(x^4 + 15x^2 + 64\)는 보기차식입니다. 완전제곱식을 만들고 합차 공식을 이용하는 방법(\(A^2 – B^2\) 꼴로 변형)을 사용하여 인수분해합니다.
- \(g(x)g(x+1)\) 형태 찾기: 인수분해된 결과를 관찰하여, 어떤 다항식 \(g(x)\)에 대해 \(g(x)g(x+1)\) 형태가 되는지 확인합니다.
- \(f(x)\) 추정: \(f(x)f(x+1) = g(x)g(x+1)\) 관계와 \(f(x)\)가 다항식이라는 조건으로부터 \(f(x)\)는 \(g(x)\) 또는 \(-g(x)\) 중 하나여야 함을 추론합니다.
- \(f(1)\) 계산: 가능한 \(f(x)\) 형태 각각에 대해 \(f(1)\) 값을 계산합니다.
- 절댓값 계산: \(f(1)\)의 절댓값 \(|f(1)|\)을 구합니다.
보기차식 인수분해 ( \(A^2 – B^2\) 활용):
\(ax^4 + bx^2 + c\) 꼴의 식에서 적절한 항을 더하고 빼서 \((Px^2 + Q)^2 – (Rx)^2\) 형태로 변형한 후, 합차 공식 \((A-B)(A+B)\)를 적용하여 인수분해합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 우변 \(x^4 + 15x^2 + 64\) 인수분해 ( \(A^2-B^2\) 꼴 변형)
주어진 식의 우변은 \(x^4 + 15x^2 + 64\) 입니다.
완전제곱식을 만들기 위해 \(x^4\)와 \(64 = 8^2\)을 이용하면, \((x^2+8)^2 = x^4 + 16x^2 + 64\) 입니다.
원래 식과 비교하기 위해 \(16x^2\)을 만들고 \(x^2\)을 빼줍니다.
$$ x^4 + 15x^2 + 64 = (x^4 + 16x^2 + 64) – x^2 $$
완전제곱식으로 묶으면,
$$ = (x^2 + 8)^2 – x^2 $$
이는 \(A^2 – B^2\) 형태(합차 공식)입니다. (\(A = x^2+8, B = x\))
합차 공식을 이용하여 인수분해합니다.
$$ = ((x^2 + 8) – x)((x^2 + 8) + x) $$
항을 차수에 맞게 정리하면,
$$ = (x^2 – x + 8)(x^2 + x + 8) $$
Step 2: \(g(x)g(x+1)\) 형태 확인
Step 1에서 우변을 \((x^2 – x + 8)(x^2 + x + 8)\)로 인수분해했습니다.
이제 이 식이 \(g(x)g(x+1)\) 형태인지 확인합니다.
만약 \(g(x) = x^2 – x + 8\) 이라고 가정해 봅시다.
그러면 \(g(x+1)\)은 \(x\) 자리에 \((x+1)\)을 대입하여 계산합니다.
$$ g(x+1) = (x+1)^2 – (x+1) + 8 $$
$$ = (x^2 + 2x + 1) – x – 1 + 8 $$
$$ = x^2 + (2x – x) + (1 – 1 + 8) $$
$$ = x^2 + x + 8 $$
따라서, Step 1의 인수분해 결과는 정확히 \(g(x)g(x+1)\) 형태임을 확인했습니다.
$$ (x^2 – x + 8)(x^2 + x + 8) = g(x) g(x+1) $$
Step 3: \(f(x)\) 추정하기
문제에서 주어진 식은 \(f(x)f(x+1) = x^4 + 15x^2 + 64\) 입니다.
Step 1, 2의 결과로부터,
$$ f(x)f(x+1) = g(x)g(x+1) $$
여기서 \(g(x) = x^2 – x + 8\) 입니다.
\(f(x)\)는 다항식이므로, 이 관계를 만족시키려면 모든 \(x\)에 대해 다음 두 가지 경우 중 하나여야 합니다.
- \(f(x) = g(x) = x^2 – x + 8\)
- \(f(x) = -g(x) = -(x^2 – x + 8)\)
(\(f(x)\)가 다항식이 아니라면 \(x\) 값에 따라 \(f(x)=g(x)\)였다가 \(f(x)=-g(x)\)가 되는 등 다른 경우도 가능하지만, 다항식 조건 때문에 \(f(x)=\pm g(x)\)만 가능합니다.)
Step 4: \(f(1)\) 계산하기
두 가지 경우에 대해 \(f(1)\)의 값을 계산합니다.
경우 1: \(f(x) = x^2 – x + 8\) 일 때
$$ f(1) = (1)^2 – (1) + 8 = 1 – 1 + 8 = 8 $$
경우 2: \(f(x) = -(x^2 – x + 8)\) 일 때
$$ f(1) = -((1)^2 – (1) + 8) = -(1 – 1 + 8) = -8 $$
Step 5: \(|f(1)|\) 값 구하기
문제에서 요구하는 값은 \(|f(1)|\) 입니다.
경우 1에서는 \(|f(1)| = |8| = 8\) 입니다.
경우 2에서는 \(|f(1)| = |-8| = 8\) 입니다.
두 경우 모두 \(|f(1)| = 8\) 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 보기차식의 인수분해와 함수 방정식의 구조적 특징을 이용하는 문제입니다.
- 보기차식 인수분해: \(x^4 + ax^2 + b\) 꼴의 인수분해는 \(A^2 – B^2\) 꼴로 변형하는 방법이 유용합니다. 완전제곱식을 만들고 남는 항이 음의 제곱 형태(\(-x^2\))가 되도록 식을 조작합니다. (\(x^4 + 15x^2 + 64 = (x^2+8)^2 – x^2\))
- 구조적 분석: 우변을 인수분해한 결과 \((x^2-x+8)(x^2+x+8)\)가 \(g(x)g(x+1)\)의 형태임을 파악하는 것이 중요합니다. (\(g(x)=x^2-x+8\)로 두면 \(g(x+1)=x^2+x+8\))
- 함수 방정식 해결: \(f(x)f(x+1) = g(x)g(x+1)\)와 \(f(x)\)가 다항식이라는 조건으로부터 \(f(x) = g(x)\) 또는 \(f(x) = -g(x)\) 라는 결론을 도출합니다.
- 절댓값 계산: 가능한 모든 경우에 대해 함수값을 계산하고, 최종적으로 절댓값을 취합니다.
보기차식 인수분해 능력과 함수 관계식의 구조를 파악하는 능력이 요구되는 문제입니다.
✅ 최종 정답
8