📌 문제 정확히 이해하기
다음 두 수의 실수인 근을 각각 \( a \), \( b \)라 정의하고 그 차이를 계산하는 문제입니다.
- \(256\)의 네제곱근 중 실수인 것을 \( a \)
- \(-243\)의 다섯제곱근 중 실수인 것을 \( b \)
이때 \( a – b \)의 최대값을 구하세요.
✅ 단계별 풀이
[Step 1] 256의 네제곱근 중 실수 구하기
네제곱근을 방정식으로 표현하면,
\[ x^4 = 256 \]식을 정리하면,
\[ x^4 – 256 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x^2 – 16)(x^2 + 16) = 0 \]실수 근을 얻으려면 \(x^2 – 16=0\)에서만 가능합니다.
\[ x^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad x = 4, \quad x = -4 \]즉, 네제곱근 중 실수는 \(4\) 또는 \(-4\)입니다. 따라서,
\[ a = 4 \quad\text{또는}\quad a = -4 \][Step 2] \(-243\)의 다섯제곱근 중 실수 구하기
다섯제곱근 방정식은,
\[ x^5 = -243 \]\(243 = 3^5\)이므로 식을 정리하면,
\[ x^5 + 243 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^5 = -243 \]여기서 \( x = -3 \)이 실수근입니다.
\[ b = -3 \][Step 3] 구할 값인 \( a – b \) 계산하기
구할 식은 \( a – b \)입니다. 위에서 나온 값들을 대입하면 두 가지 경우가 있습니다.
- 첫 번째 경우 (\( a = 4 \)): \[a – b = 4 – (-3) = 7\]
- 두 번째 경우 (\( a = -4 \)): \[a – b = -4 – (-3) = -1\]
이 중에서 더 큰 값은 \(7\)입니다.
🎯 최종 정답 확인하기
최종 정답은 보기 ②번입니다.
\[ \boxed{7} \]