📌 문제 이해하기
삼각형 \( ABC \)의 세 변의 길이가 \( a, b, c \)일 때, 다음 조건을 만족한다고 합니다.
\[ (a + b + c)(a + b – c) = \frac{(a + b)^2 – (a – b)^2}{2} \]이 조건을 만족할 때, 삼각형 \( ABC \)는 어떤 삼각형인지 알아보는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 우변 정리하기
\[ \frac{(a + b)^2 – (a – b)^2}{2} \]각 항을 전개합니다.
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\quad (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \]따라서,
\[ \frac{(a + b)^2 – (a – b)^2}{2} = \frac{(a^2 + 2ab + b^2) – (a^2 – 2ab + b^2)}{2} = \frac{4ab}{2} = 2ab \][Step 2] 좌변 정리하기
\[ (a + b + c)(a + b – c) \]이는 완전제곱 공식을 이용해 다음과 같이 변형할 수 있습니다.
\[ (a + b)^2 – c^2 \]전개하면,
\[ a^2 + 2ab + b^2 – c^2 \][Step 3] 양변 비교
\[ a^2 + 2ab + b^2 – c^2 = 2ab \]좌변에서 2ab를 이항하면,
\[ a^2 + b^2 = c^2 \][Step 4] 의미 해석
이는 바로 피타고라스 정리입니다.
즉, 삼각형 ABC는 직각삼각형이며, \( c \)는 빗변입니다.
🎯 최종 정답
\[ \boxed{⑤\quad c \text{가 빗변인 직각삼각형}} \]📝 마무리 정리
- 우변을 전개하면 \( 2ab \), 좌변은 \( (a + b)^2 – c^2 \)
- 정리하면 \( a^2 + b^2 = c^2 \)라는 피타고라스 정리 도출
- 결론적으로 삼각형 ABC는 c가 빗변인 직각삼각형이다