📌 문제 이해하기
세 다항식이 주어졌습니다.
\[ A = ax^2 + bxy + ay^2,\quad B = x^2 – 4xy + y^2,\quad C = 3x^2 + 2xy – y^2 \]다항식 \( A + 3B \), \( 3A – C \)가 각각 두 개의 항으로 이루어진다는 조건을 만족할 때, 정수 \( a, b \)에 대해
\[ a^2 + b^2 \]의 값을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] \( A + 3B \) 전개
\[ A + 3B = (ax^2 + bxy + ay^2) + 3(x^2 – 4xy + y^2) \] \[ = (a + 3)x^2 + (b – 12)xy + (a + 3)y^2 \tag{①} \][Step 2] \( 3A – C \) 전개
\[ 3A – C = 3(ax^2 + bxy + ay^2) – (3x^2 + 2xy – y^2) \] \[ = (3a – 3)x^2 + (3b – 2)xy + (3a + 1)y^2 \tag{②} \][Step 3] 각 식의 항이 두 개라는 조건 적용
①과 ②의 항이 각각 두 개인 경우, 각 식에서 항 중 하나의 계수가 0이어야 합니다.
- ①에서 \( b – 12 = 0 \Rightarrow b = 12 \)
- ①에서 \( a + 3 = 0 \Rightarrow a = -3 \) → 이 경우 ②에서 \( 3a + 1 = -8 \neq 0 \), \( 3b – 2 = 34 \neq 0 \)
- ②에서 \( 3a – 3 = 0 \Rightarrow a = 1 \), 정수 가능!
\( a = 1 \)일 때, ①에서 항이 두 개가 되려면:
\[ a + 3 = 4 \neq 0 \Rightarrow (b – 12) = 0 \Rightarrow b = 12 \][Step 4] 정수 \( a, b \)의 제곱합 계산
\[ a^2 + b^2 = 1^2 + 12^2 = 1 + 144 = \boxed{145} \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{145} \]📝 마무리 정리
- 문제의 핵심은 “두 항만 존재”라는 조건 해석
- 다항식을 전개하여 계수를 비교하고, 0이 되는 항을 찾아 정수 조건 대입
- 변수의 조합으로 식을 간단히 만들고 마지막엔 단순 제곱합 계산