📌 문제 이해하기
함수 \( y = \log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 2x + 10) \)의 최댓값을 구하는 문제입니다.
로그 함수의 밑이 1보다 작으면 감소 함수가 되므로, 로그 안의 값이 작을수록 로그 값은 커집니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 로그 함수의 성질
밑이 \( \frac{1}{3} \)과 같은 경우, 로그 함수는 감소 함수입니다. 즉,
- 안의 값이 최소일 때, 로그 함수 값은 최대입니다.
[Step 2] 이차식의 최소값 구하기
로그 안의 식을 완전제곱식으로 정리하면:
\[ x^2 + 2x + 10 = (x + 1)^2 + 9 \]따라서 이 식의 최소값은 \( (x+1)^2 = 0 \)일 때이고, 그때의 값은:
\[ (x+1)^2 + 9 = 9 \][Step 3] 로그 함수 값 계산하기
\[ y = \log_{\frac{1}{3}}(9) = \log_{\frac{1}{3}}(3^2) = 2 \cdot \log_{\frac{1}{3}}(3) \] \[ \log_{\frac{1}{3}}(3) = -1 \Rightarrow y = 2 \cdot (-1) = -2 \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{-2} \]📝 마무리 정리
1. 로그 함수의 증가/감소 성질
- 밑이 1보다 작으면 감소 함수
- 밑이 1보다 크면 증가 함수
2. 이차식 최소값 찾기 팁
\( x^2 + 2x + 10 \) 같은 식은 완전제곱식으로 바꾸는 것이 핵심입니다.
\[ x^2 + 2x + 10 = (x + 1)^2 + 9 \]이 방법은 함수의 극값을 빠르게 찾을 수 있게 도와줍니다.
3. 로그 계산 시 성질 활용
지수를 앞에 곱하는 성질: \( \log_b(a^n) = n \log_b a \)
밑과 진수가 역수 관계면 \( \log_{\frac{1}{b}}(b) = -1 \)
—따라서, 함수의 최댓값은 \(-2\)입니다.