📌 문제 이해하기
주어진 삼각방정식 \(\sin x \tan x = -\frac{3}{2}\)의 해를 구하고, \(0 \le x \le 2\pi\) 구간에서 모든 해의 합을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 삼각함수 식 변형
\[ \sin x \tan x = \frac{\sin^2 x}{\cos x} \Rightarrow \frac{\sin^2 x}{\cos x} = -\frac{3}{2} \][Step 2] \(\sin^2 x\)를 \(\cos x\)로 바꾸기
\[ 2\sin^2 x = -3\cos x \Rightarrow 2(1 – \cos^2 x) = -3\cos x \Rightarrow 2 – 2\cos^2 x + 3\cos x = 0 \Rightarrow 2\cos^2 x – 3\cos x – 2 = 0 \][Step 3] 이차방정식 풀기
\[ (2\cos x + 1)(\cos x – 2) = 0 \] \[ \cos x = -\frac{1}{2} \quad \text{또는} \quad \cos x = 2 \]하지만 \(\cos x = 2\)는 정의역 내에서 불가능하므로
\[ \cos x = -\frac{1}{2} \][Step 4] \(\cos x = -\frac{1}{2}\)의 해 구하기
\(0 \le x \le 2\pi\)에서 \(\cos x = -\frac{1}{2}\)이 되는 \(x\)는 다음과 같습니다:
\[ x = \frac{2\pi}{3}, \quad x = \frac{4\pi}{3} \][Step 5] 모든 근의 합
\[ \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = 2\pi \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{2\pi} \]📝 마무리 정리
1. 삼각함수의 곱 표현
삼각함수의 곱에서 \(\sin x \tan x = \frac{\sin^2 x}{\cos x}\)라는 삼각함수의 기본 성질을 활용하면 문제를 다항방정식처럼 변형할 수 있습니다.
2. 삼각방정식의 해
\(\cos x = -\frac{1}{2}\)의 해는 단위원 위의 각도로, \(2\pi/3\)과 \(4\pi/3\)에서 성립함을 알 수 있습니다. 이는 삼각함수의 주기성과 좌표값으로 확인할 수 있습니다.
3. 삼각함수 방정식 풀 때 주의점
- 삼각함수는 주기함수이므로 해가 여러 개일 수 있습니다.
- 해당 범위 내의 해만 고려하는 것이 중요합니다.