📌 문제 요약
이 문제는 등차수열 {a_n}에 대해 다음 조건을 만족할 때,
\[ \sum_{n=1}^{10} a_n \]
의 값을 구하는 문제입니다.
조건은 다음과 같습니다:
- 첫째항이 \( a \ (a \ne 0) \)
- 공차가 \( d \)
- 모든 자연수 \( m, n \)에 대해 \( a_m + a_n = a_{m+n} \)
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 등차수열 일반항 표현
등차수열의 일반항은 다음과 같습니다.
\[ a_n = a + (n – 1)d \]
🔵 Step 2. 조건을 식으로 표현하기
조건 \( a_m + a_n = a_{m+n} \)을 일반항에 대입해 봅니다.
\[ a_m + a_n = (a + (m-1)d) + (a + (n-1)d) = 2a + (m+n – 2)d \] \[ a_{m+n} = a + (m+n – 1)d \]
두 식이 같기 위해선:
\[ 2a + (m+n – 2)d = a + (m+n – 1)d \Rightarrow a – d = 0 \Rightarrow a = d \]
🔵 Step 3. 일반항 다시 표현하기
우리는 \( a = d \)임을 알아냈습니다. 따라서:
\[ a_n = a + (n-1)a = an \]
🔵 Step 4. 등차수열의 합 계산하기
\[ \sum_{n=1}^{10} a_n = \sum_{n=1}^{10} an = a \sum_{n=1}^{10} n \]
\[ \sum_{n=1}^{10} n = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55 \Rightarrow \sum_{n=1}^{10} a_n = a \cdot 55 = 55a \]
🧠 마무리 정리: 꼭 기억해야 할 개념
- 등차수열 일반항: \( a_n = a + (n – 1)d \)
- 조건 대입: 문제의 조건을 일반항에 대입하여 항등식을 비교하면 공차와 첫째항의 관계를 유도할 수 있음
- 등차수열 합 공식: \( \sum_{n=1}^{k} n = \frac{k(k+1)}{2} \)
✅ 최종 정답
정답: ④번, \( \boxed{55a} \)