📘 문제 요약
다항식 \( (2x – 5)(x^2 + ax + a) \)의 전개식에서
\( x \)에 대한 모든 항의 계수의 합이 9일 때,
이 다항식의 \( x^2 \) 항의 계수를 구하는 문제입니다.
(단, \( a \)는 실수 상수입니다.)
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 문제 해석
“모든 항의 계수의 합”이란 다항식에 \( x = 1 \)을 대입한 값과 같습니다.
따라서,
\[
P(x) = (2x – 5)(x^2 + ax + a)
\]
\[
P(1) = 9
\]
를 만족해야 합니다.
🔵 Step 2. \( x = 1 \)을 대입하여 \( a \)의 값을 구하기
\[ P(1) = (2 \cdot 1 – 5)(1^2 + a \cdot 1 + a) = (-3)(1 + 2a) = 9 \] \[ -3(1 + 2a) = 9 \Rightarrow 1 + 2a = -3 \Rightarrow 2a = -4 \Rightarrow a = -2 \]
🔵 Step 3. \( x^2 \) 항의 계수 구하기
이제 \( a = -2 \)일 때, \[ P(x) = (2x – 5)(x^2 – 2x – 2) \] 이 다항식을 전개했을 때 \( x^2 \) 항이 생기는 항은 다음 두 가지입니다:
- \( 2x \cdot (-2x) = -4x^2 \)
- \( -5 \cdot x^2 = -5x^2 \)
🧠 마무리 개념 정리
✔️ 모든 계수의 합 = \( f(1) \)
다항식 \( f(x) \)의 모든 계수의 합은 \( f(1) \)을 계산하면 됩니다.
✔️ 특정 차수 항의 계수 찾기
다항식 곱셈에서 특정 차수의 항을 만들 수 있는 조합만 따로 계산하면 됩니다.
✅ 최종 정답
\[ \boxed{-9} \Rightarrow \text{①번} \]